brief_guide.ipynb

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    "Brief guide to the Prove-It library of proofs\n",
    "========"
   ]
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    "<a name=\"context\"></a>**Context Web Pages**\n",
    "\n",
    "Our proofs are organized into <a class=\"ProveItLink\" href=\"index.ipynb#hierarchy\">hierarchy of contexts</a>.  A **context** is a kind of domain of knowledge and these may be interdependent.  Each **context** contains zero or more **common expressions**, **axioms**, and **theorems**.  The **context** web-page has links to one web-page each for the <a href=\"#common\">common expressions</a>, \n",
    "<a href=\"#axioms\">axioms</a>, and <a href=\"#theorems\">theorems</a>, as well as a <a href=\"#demonstrations\">demonstrations</a>\n",
    "web page containing relevant context-specific examples.  **Common expressions** are named <a href=\"#expr\">expressions</a> that may be used when defining **axioms** and **theorems** as well as for convenience in the construction of **theorem** **proofs**, **demonstrations**, and may also be used externally (outside of the **context**).  **Axioms** are named <a href=\"#knowntruth\">known truths</a> that require no proof.  These effectively define context-related operations and mathematical concepts.  **Theorems** are named <a href=\"#knowntruth\">known truths</a> that require a proof.  Each theorem name, on the **theorems** web page, links to its <a href=\"#proofs\">proof</a> page.  **Proofs** may be constructed in any order and have not all been constructed yet.  A **theorem** without a complete **proof** is regarded as *unproven*.  Each **proof** page links to a <a href=\"#dependencies\">dependencies</a> page which lists all of the **axioms** used directly or indirectly in the proof, as well as any required *unproven* **theorems**.  It also displays the **theorems** that depend directly upon that one.  The final type of web page that is generated in this library is a web page of <a href=\"#expr_info\">expression information</a> that shows the full tree-like structure of each **expression**.  The **expression information** pages of **axioms** and **theorems** also link to **dependencies** web pages."
   ]
  },
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   "source": [
    "<a name=\"expr\"></a>**Expressions**\n",
    "\n",
    "Mathematical **expressions** are the basic building block of **Prove-It** <a href=\"#proofs\">proofs</a>.  These are represented with rendered LaTeX.  As much as possible, this representation should reflect the internal contents of the **expression** object.  However, to fully understand what is actually being represented by an **expression**, click on the rendered LaTeX to view its <a href=\"#expr_info\">expression information</a> web page.  \n",
    "\n",
    "**Expressions** form <a href=\"#knowntruth\">known truths</a> that are used in the derivation steps of a **proof**.  An **expression** has no intrinsic value type, unlike in conventional theorem-proving approaches.  It does have a *type* that refers to the kind of operation or mathematical object.  There are 9 *core types* recognized for having specific rules in proof <a href=\"#proof_deriv\">derivations</a>.\n",
    "\n",
    "* <a name=\"variable\"></a>`Variable`: A label that is interchangeable (as long as it is kept distinct from other labels) with no intrinsic meaning.  It is usually represented by a single letter but can have any representation.\n",
    "* <a name=\"literal\"></a>`Literal`: A label that is not interchangeable and has an intrinsic meaning.  Specific operators ($\\lnot, \\land, +, \\times$, etc.) and specific irreducibe values ($\\top, \\bot, 0, 5$, etc.) are all `Literal`s.  Furthermore, a problem-story `Variable` in a particular **context**, representing some unknown but particular value, should also be a `Literal` (e.g., \"Ann has $a$ apples...\").\n",
    "* <a name=\"operation\"></a>`Operation`: The application of *operator(s)* on *operand(s)*.  For example, $0 + 5 + 8$ and $1 < a \\leq b < 3$ are examples of *operation* expressions.  The **Prove-It** library defines many *types* derived from the *operation* type (e.g., for each specific operation), but the <a href=\"#proof_deriv\">derivation rules</a> only need to know that these are *operations*.\n",
    "* <a name=\"lambda\"></a>`Lambda`: A mapping defined by *parameter* `Variable`s transforming to some *body* `Expression` but only when the *parameter(s)* meet certain *condition(s)*.  For example, $(x, y, z) \\mapsto x+y/z~|~x \\in \\mathbb{R}, y \\in \\mathbb{R}, z \\in \\mathbb{R}, z \\neq 0$ is a conditional **lambda** that converts three real numbers $x, y, z$ to $x + y/z$ as long as $z$ is not zero.  Note that a `Lambda` introduces `Variables` into a new scope via the *parameters*.  These *parameter* `Variable`s are said to be *bound* in this new scope; occurrences outside this scope are not deemed to be the same thing. There is a special category of `Operation` types called `OperationOverInstances` that are essentially functionals acting on a `Lambda` operand.  $\\forall$, $\\exists$, $\\sum$, and $\\prod$ are examples of `OperationOverInstances`.  For example, $\\forall_{x~|~Q(x)} P(x)$ is an expression that translates to \"$P(x)$ is true for all values of $x$ for which $Q(x)$ is also true\".  Internally, this is represented as an $\\forall$ operator acting on the conditional `Lambda` map $x \\mapsto P(x)~|~Q(x)$.\n",
    "* <a name=\"expr_list\"></a>`ExprList`: A list of `Expression`s that is used, for example, when there are multiple *operators* or *operands* of an `Operation` or multiple *parameters* of a `Lambda`.\n",
    "* <a name=\"expr_tensor\"></a>`ExprTensor`: A multi-dimensional (e.g., two-dimensional) array of `Expression`s. This can be used, for example, to represent a quantum circuit which is a two-dimensional graphical representation of a sequence of quantum operations.  A 2-D representation of a matrix is a more basic example.  More work is required to properly implement and test the *ExprTensor* class.\n",
    "* *NamedExprs*: A mapping from keyword strings to `Expression`s.  This can be used to prevent ambiguity of an expression's internal representation.\n",
    "* <a name=\"indexed\"></a>`Indexed`: A particular indexed element of a `Variable` where the `Variable` is intended to serve as a placeholder for an `ExprList` or `ExprTensor`.  It has a *base* which determines the indexing offset, typically $0$ or $1$.  For example, $x_5$ represents the fifth or sixth element of $x$ in *base* $1$ or $0$ respectively.  The *base* is typically not displayed and must be inferred by the context, though it is explicitly revealed in the <a href=\"#expr_info\">expression information page</a>.  An `Indexed` expression is typically contained within an `Iter` (described next).\n",
    "* <a name=\"iteration\"></a>`Iter`: Represents an iteration of a *parameter* going from a *start* to an *end* in successive unit increments ($+1$).  For example, $x_1 +~\\ldots~+ x_n$ contains an `Iter` of `Indexed` `Variable`.  If we take $n$ to be $3$, this would expand to $x_1 + x_2 + x_3$.  An `Iter` has a *lambda map*, *start index(indices)*, and *end index(indices)*.  In our example, the `Iter` $x_1,~\\ldots,x_n$, is the *operand* of an `proveit.number.addition.Add` `Operation`.  The *lambda map*, *start index* and *end index* of the *iteration* are $i \\mapsto x_i$, $1$, and $n$, respectively.\n",
    "\n",
    "**Prove-It** has an `Expression` class.  The 9 *core types* are classes derived from the `Expression` class.  Each `Expression` object has a class that is one of these 9 *core types* or a class derived from one of these.  This object-oriented approach is convenient for accessing appropriately-named sub-expressions, calling convenient methods to apply **axioms** or **theorems** pertaining to the class, and implementing class-specific automation of obvious derivation steps. "
   ]
  },
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   "source": [
    "<a name=\"expr_info\"></a>**Expression Information Web Pages**\n",
    "\n",
    "Clicking on generated mathematical <a href=\"#expr\">expression</a> in this library will take you to a \n",
    "web page that shows the explicit breakdown of the **expression** into \n",
    "a tree-like structure.  The top of the page indicates the *type* (class)\n",
    "of expression (again, not to be consued with a type-theory notion of its\n",
    "value type) with a link to its documentation page. Clicking on the *type* at the top of this web page will, when this feature is implemented, take you to the code documentation for the **expression's** class.  Currently these are dead links.\n",
    "\n",
    "The first two notebook inputs of this page show Python code for generating and \"checking\" the **expression**.  The first input shows the necessary `import` commands.  The second input builds the **expression** and checks, via `%check_expr`, that this built expression is consistent with what is stored in a kind of database that **Prove-It** maintains.  The third and final notebook input shows the command to display the *expression information* of the **expression** object via the `exprInfo()` method.  Its output is a table with the tree-like structure of the **expression** with all of its *sub-expressions*.  The first entry, with index \"0\", is the full **expression**.  Each entry lists the numbers of direct *sub-expressions* that are always later entries in the table.\n"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "<a name=\"knowntruth\"></a>**Known Truths**\n",
    "\n",
    "A proven statement in **Prove-It** is called a **known truth**.  These are represented in the form: <br/>\n",
    "{*assumption expressions*} $\\vdash$ *truth expression*<br/>\n",
    "where the *assumption expressions* is a comma-delimited list of <a href=\"#expr\">expressions</a> and the *truth expression* is a single <a href=\"#expr\">expression</a>.  When there are no assumptions, the **known truth** is simply displayed as<br/>\n",
    "$\\vdash$ *truth expression*\n",
    "\n",
    "<a name=\"unbound\"></a>Any *unbound* <a href=\"#variable\">variable</a> in the *assumption expressions* and/or *truth expression* (not *bound* within the scope of any <a href=\"#lambda\">lambda</a> expression) are deemed to be *arbitrary variables*. They can represent anything without altering its status as a **known truth**.  This is not the case for <a href=\"#literal\">literals</a> which may only take on a single value (which may or may not be known). \n",
    "\n",
    "As an example, $\\{\\lnot A\\} \\vdash A = \\bot$, taking $A$ to be a *variable*, translates to \"any $A$ equals false ($\\bot$) assuming the logical negation of $A$ is a true fact\".  A main part of **Prove-It's** unique approach is that there is no intrinsic typing system to ensure that $A$ has a *Boolean* type (true ($\\top$) or false ($\\bot$) represented as the set $\\mathbb{B} = \\{\\top, \\bot\\}$).  Rather, it is inferred, in this case for example, from the *assumption* that the logical negation of $A$ is true.  The logical negation of a value is only defined when that value is a *Boolean*. Otherwise it simply cannot be evaluated.\n",
    "\n",
    "New **known truths** may derive from existing **known truths** via <a href=\"#proof_deriv\">derivation rules</a>.  These rules include <a href=\"#generalization\">generalization</a> and <a href=\"#specialization\">specialization</a> which can actualize a change of an *unbound* *variable* to any other **expression**.  Taking the previous example, *generalizing* this **known truth** will derive<br/>\n",
    "$\\vdash \\forall_{A~|~\\lnot A} A = \\bot$.<br/>\n",
    "This may then be *specialized* to produce any specific instance of $A$ for which $\\lnot A$ is proven or assumed."
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "<a name=\"common\"></a>**Common Expression Web Pages**\n",
    "\n",
    "Each <a href=\"#context\">context</a> contains a **common expressions** page that defines zero or more named <a href=\"#expr\">expressions</a> that can be used for convenience to build <a href=\"#axioms\">axioms</a> and <a href=\"#theorems\">theorems</a> as well as a general aid in <a href=\"#proofs\">proof</a> construction.  It may also be used in <a href=\"#demonstrations\">demonstrations</a> and external to the **context**.  Clicking on any of these **expressions** will take you to the <a href=\"#expr_info\">expression information</a> page."
   ]
  },
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   "source": [
    "<a name=\"axioms\"></a>**Axiom Web Pages**\n",
    "\n",
    "**Axioms** are <a href=\"#knowntruth\">known truths</a> that are accepted without **proof**.  They provide the definitions for the various mathematical objects and operations.  They can be **context**-specific; for example, a **context** may define specific <a href=\"#literal\">literal</a> quantities for a specific story problem or scope.  They can also be used externally as desired.  The <a href=\"#expr_info\">expression information web page</a> of an **axiom** has a link to a <a href=\"#dependencies\">dependencies web page</a> that shows all of the **theorems** whose **proof** depends directly upon this **axiom**.  There are also <a href=\"#dependencies\">dependencies web pages</a> for each **proof** showing what **axioms** are used directly or indirectly in the **proof**.  In this way, **axiom** usage is tracked for every **proof** so users can ensure that only appropriate **axioms** are used for any particulary **proof** of interest."
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "<a name=\"theorems\"></a>**Theorem Web Pages**\n",
    "\n",
    "**Theorems** are <a href=\"#knowntruth\">known truths</a> that require a <a href=\"#proofs\">proof</a>.  These must be derived from <a href=\"#axioms\">axioms</a> or other **theorems** using <a href=\"#proof_deriv\">derivation rules</a> used to obtain new **known truths** for previous **known truths**.  These **theorems** may be proven in any order and some of the **theorems** in this library have not yet been proven.  By explicitly indicating what other **theorems** may be *presumed* in a given **proof**, we avoid circular logic.  When a **theorem** does have a **proof**, it will have a <a href=\"#dependencies\">dependencies web page</a>, accessed via a link titled `dependencies` on the **proof** page, that reveals all **axioms** used directly or indirectly in the **proof** as well as any dependent **theorems** that have not yet been proven."
   ]
  },
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   "metadata": {},
   "source": [
    "<a name=\"proofs\"></a>**Proof Web Pages**\n",
    "\n",
    "Clicking on the name of a **theorem** on the <a href=\"#theorems\">theorems web page</a> of a **context** will take you to its **proof** page.  If the **proof** has been supplied, this will show the Python code used to generate its derivation, culminating in the `%qed` command which displays all of the <a href=\"#proof_deriv\">derivation</a> steps starting from the proven **theorem** (step `0`) and working its way backwards through the derivation, each step dependent upon *requirements* that are realized at later steps (a convenient check against circular logic within a **theorem** **proof**).  The **proof** web page will link to a <a href=\"#dependencies\">dependencies web page</a>,  via a link titled `dependencies` that reveals all <a href=\"#axioms\">axioms</a> used directly or indirectly in the **proof** as well as any dependent **theorems** that have not yet been proven."
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "<a name=\"proof_deriv\"></a>**Derivation Rules**\n",
    "\n",
    "New <a href=\"#knowntruth\">known truths</a> may be derived from existing ones, in order to generate a <a href=\"#proofs\">proof</a> of a <a href=\"#theorems\">thereom</a> by using a small number of derivation rules that are available.  These are as follows:\n",
    "* *Assumption*: <br/>\n",
    "For any <a href=\"#expr\">expression</a> $A$, $A$ is known to be true if $A$ is assumed to be true.  Thus,<br/>\n",
    "$\\{A\\} \\vdash A$<br/>\n",
    "Note that the **Prove-It** system is indifferent to whether or not the assumed **expression** is a proper Boolean-type expression.  While it is assumed, it does have a Boolean value (`TRUE` to be specific), but that does not imply that it has a Boolean type more generally, when it is not assumed.\n",
    "* *Axiom/theorem invocation*:<br/>Introduces a <a href=\"#knowntruth\">known truth</a> from an <a href=\"#axioms\">axiom</a> or <a href=\"#theorems\">theorem</a> and tracks its use in the tracked <a href=\"#dependencies\">dependencies</a>.\n",
    "* *Axiom/theorem elimination*:<br/>Converts **axioms** or **theorems** into assumptions and removes them from the tracked **dependencies**.  <a href=\"#literal\">Literals</a> may be simultaneously converted to <a href=\"#variable\">variables</a> in this process.  This must be done in a fully consistent manner (converting all **axioms**/**theorems** that involve the *literal* simultanously, and converting all of the *literals* that the **axioms**/**theorems** involve).  (This has not yet been implemented in the **Prove-It** code.)\n",
    "* *Hypothetical reasoning*:<br/>Given a **known truth** with *assumptions*, converts any one of the assumptions into an antecedent in an explicit implication.  For example, from<br/>\n",
    "$\\{A, B, C, \\ldots\\} \\vdash Z$<br/>\n",
    "derive<br/>\n",
    "$\\{A, C, \\ldots\\} \\vdash B \\Rightarrow Z$<br/>\n",
    "Both forms have their use.  Implications are important because they can be nested (\"$\\vdash$\" cannot be nested).  As with *assumptions*, **Prove-It** is indifferent about whether or not the *antecedent* and *consequent* of the *implication* are Boolean-type expression.  For an *implication* to be true it only matters that the *consequent* is true if/when the *antecedent* is true; if the *antecedent* has no defined value or is non-Boolean, the *implication* is vacuously true regardless of whether or not the *consequent* can be evaluated. \n",
    "* *Modus ponens*:<br/>\n",
    "From an implication, derive its consequent given that the antecedent is known or assumed to be true.  For example, from<br/>\n",
    "$\\{A, B, C\\} \\vdash Y \\Rightarrow Z$<br/>\n",
    "and<br/>\n",
    "$\\{B, C, D\\} \\vdash Y$<br/>\n",
    "derive<br/>\n",
    "$\\{A, B, C, D\\} \\vdash Z$<br/>\n",
    "The *assumptions* of the resulting **known truth** simply become the union of the *assumptions* of the prerequisite **known truths**.  Furthermore, either or both of the prerequisite **known truths** may be incorporated in the *assumptions* list instead of having independent derivations.  For example, the following may be introduced without any prerequisites:<br/>\n",
    "$\\{A, A \\Rightarrow B\\} \\vdash B$<br/>\n",
    "* <a name=\"generalization\"></a>*Generalization*<br/>\n",
    "As mentioned <a href=\"#unbound\">above</a>, any *unbound* <a href=\"#variable\">variable</a> in a **known truth** is deemed to be *arbitrary*.  To transform such a fact into an explicit form, *generalization* may be used to introduce a universal quantification ($\\forall$) over *arbitrary* *variables*.  Any of the *assumptions* of the original **known truth** may be listed as *conditions* of the universal quantification and removed from the *assumptions* list. Any *assumptions* containing the *unbound* *variable(s)* must be converted to *conditions* in this manner because they must be included in the new *binding* of the *variable(s)*.  Additional *conditions* may be added as desired because this can only weaken the **known truth**.  As an example, suppose we have a **known truth** of the form<br/>\n",
    "$\\{x \\in S, Q(x)\\} \\vdash P(x)$,<br/>\n",
    "where $Q(x)$ and $P(x)$ take the place of **expressions** involving $x$ as an *unbound* *variable* and $S$ may be any **expression** but should be a properly defined set in order for $x \\in S$ to evaluate to true for any $x$.  We can then derive, via *generalization*,<br/>\n",
    "$\\vdash \\forall_{x \\in S~|~Q(x)} P(x)$.<br/>\n",
    "Note that the $x \\in S$ notation of this universal quantification is a shorthand LaTeX representation in place of $\\forall_{x~|~x \\in S, Q(x)}$ but internally $x \\in S$ is treated as a *condition* in the same manner as $Q(x)$.  This is a simple, single-*variable* example, but multiple *variables*, in fact, may be *generalized* simultaneously.  Also, multiple nested $\\forall$ operations may be introduced simultaneously.\n",
    "* <a name=\"specialization\"></a>*Specialization* and *relabeling*<br/>\n",
    "*Specialization* is the reverse of *generalization*.  It can transform a **known truth** with explicit universal quantification into a **known truth** with fewer $\\forall$ operations.  For example, given<br/>\n",
    "$\\{A, B\\} \\vdash \\forall_{x~|~Q(x)} P(x),$<br/>\n",
    "and<br/>\n",
    "$\\{B, C\\} \\vdash Q(x)$<br/>\n",
    "we can derive<br/>\n",
    "$\\{A, B, C\\} \\vdash P(x)$,<br/>\n",
    "As with *modus ponens*, the new *assumptions* are the union of the prerequisite *assumption* and there is flexibility in what is included in the *assumptions list* versus other **known truths**.  For example, <br/>\n",
    "$\\{ \\forall_{x~|~Q(x)} P(x), Q(x)\\} \\vdash P(x)$<br/>\n",
    "may be derived without any prerequisites.  Of course, in the *specialization* process, $x$ may be replaced with any expression, as long as it does not violate scoping restrictions of <a href=\"#lambda\">lambda</a> **expression**.  That is, the *unbound* *variables* in the replacement of $x$ cannot be the same as any *parameter* of a *lambda* that contains an instance of *x* in the original **known truth**.  For example, from<br/>\n",
    "$\\vdash \\forall_{x} \\exists_{y}~y=x,$<br/>\n",
    "we **can** derive<br/>\n",
    "$\\vdash \\exists_{y}~y=5$,<br/>\n",
    "but we **cannot** derive<br/>\n",
    "$\\vdash \\exists_{y}~y=y+5$.<br/>\n",
    "Multiple *variables* and even multiple nested $\\forall$ operations may be *specialized* simultaneously and some *variables* may be *relabeled* instead.  The difference between *specializing* and *relabeling* is that the corresponding $\\forall$ is not eliminated in the case of *relabeling* but the *variable* may only be replaced with another *variable*.  This could be accomplished via *specializing* and then *generalization* but can also be done in one step via *relabeling*.\n",
    "<br/><br/>\n",
    "Finally, there are special *specialization* rules involving <a href=\"#iteration\">iterations</a> and <a href=\"#indexed\">indexed</a> **expression**.  Specifically, when the *variable* of an *indexed* **expression** is replaced, via specialization, with an <a href=\"#expr_list\">expression list</a> or <a href=\"#expr_tensor\">expression tensor</a>, the indexing must be performed, replacing the *indexed* expression with the particular *indexed* value (or an exception raised if it cannot be performed); and when the *indexed* **expression** is contained within an *iteration*, the *iteration* must be expanded to reveal each particular *indexed* value.  For example, when *specializing*<br/>\n",
    "$\\vdash \\forall_{n \\in \\mathbb{N}} \\forall_{x, y_1, \\ldots, y_n \\in \\mathbb{C}}~x \\cdot (y_1 + \\ldots + y_n) = x \\cdot y_1 + \\ldots x \\cdot + y_n$<br/>\n",
    "(the distribution law) with $n \\mapsto 3$, $x \\mapsto x$, and $y \\mapsto [a, b, c]$, we can derive<br/>\n",
    "$\\{x \\in \\mathbb{C}, a \\in \\mathbb{C}, b \\in \\mathbb{C}, c \\in \\mathbb{C} \\} \\vdash x \\cdot (a + b + c) = x \\cdot a + x \\cdot b + x \\cdot c$.<br/>  In this example, the *indexed* **expressions** use *base* one, implicit in the LaTeX representation but explicit in the internal representation.  To expand the *iteration*, **Prove-It** applies $+1$ to the *start index* successively until reaching the *end index*, performing evaluations along the way.  The derivation step requires these evaluation **known truths** as prerequisites.  In this example,<br/>\n",
    "$\\vdash 1+1=2$ and $\\vdash 2+1=3$<br/>\n",
    "are prerequisites."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<a name=\"dependencies\"></a>**Dependencies Web Pages**\n",
    "\n",
    "The `dependencies` link on a <a href=\"#proofs\">proof web page</a> or on the <a href=\"#expr_info\">expression information web page</a> of an <a href=\"#axioms\">axiom</a> or <a href=\"#theorems\">theorem</a> will take you a web page that shows **dependencies** for the corresponding **axiom** or **theorem**.  For **theorem** **dependencies**, this page lists all the **axioms** used directly or indirectly in the **proof** as well as any dependent **theorems** that have not yet been proven.  Additionally, for both **axiom** and **theorem** **dependency** pages, it lists all of the **theorems** that directly depend on that **axiom**/**theoreom**."
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "<a name=\"demonstrations\"></a>**Demonstrations Web Pages**\n",
    "\n",
    "The **demonstrations** web page of a **context** shows examples of how to use the operations and concepts defined in the **context** and should test automation capabilities.  It is a useful regression testing tool as well as a tutorial for using what is defined in the **context**.  Many of these have not been generated yet or are incomplete at this time."
   ]
  },
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   "source": []
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       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets."
      }
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       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets.\n"
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      }
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       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "basic number concepts and operations for whole numbers, real numbers, and complex number"
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       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets."
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       "_model_module_version": "~2.1.4",
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       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets.\n"
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       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets."
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       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets."
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       "layout": "IPY_MODEL_da9334d5605f4def9c1fdd33f25b9d88",
       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "basic logic concepts: booleans, equality, and sets."
      }
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       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "\n"
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       "placeholder": "Add a brief description here...",
       "value": "blah blah bla"
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        "IPY_MODEL_2e0e5a67d41046749915b890eaec0362"
       ],
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       "value": "List of sub-contexts:"
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