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### A Pluto.jl notebook ###
# v0.19.40
using Markdown
using InteractiveUtils
# This Pluto notebook uses @bind for interactivity. When running this notebook outside of Pluto, the following 'mock version' of @bind gives bound variables a default value (instead of an error).
macro bind(def, element)
quote
local iv = try Base.loaded_modules[Base.PkgId(Base.UUID("6e696c72-6542-2067-7265-42206c756150"), "AbstractPlutoDingetjes")].Bonds.initial_value catch; b -> missing; end
local el = $(esc(element))
global $(esc(def)) = Core.applicable(Base.get, el) ? Base.get(el) : iv(el)
el
end
end
# ╔═╡ 43b35f35-5d9c-4fc2-b778-e356cad72978
begin
using
Plots,
PlutoUI,
Rotations,
LaTeXStrings,
Interpolations,
Calculus
gr()
print("Dependencies")
end
# ╔═╡ 38b8bf30-b673-11ee-0868-8df22983dbe9
md"""
# Meccanica del volo atmosferico
## Davide Viganò
## Cristina Truant
### 28/1/24
"""
# ╔═╡ 51934362-4b1f-4aea-bcf3-a3a892de83a1
md"""
# Intro
Questo notebook interattivo è progettato per essere una risorsa nello studio della meccanica del volo atmosferico. È destinato a coloro che desiderano approfondire la comprensione del funzionamento del volo atmosferico, ed analizzare come specifici elementi di design dell'aeromobile influenzino le sue prestazioni in volo.
"""
# ╔═╡ 258dcb67-de1f-48b6-978f-86ba4603b244
md"""
# Ipotesi con cui lavoriamo
**Modelli del Velivolo** $br Nella rappresentazione matematica del problema è possibile scegliere diversi tipi di modellazione in base alla quantità di informazioni che si vuole ricavare.
1) Punto materiale "orientato" $3 G.D.L$ + sistema di riferimento
- le forze aerodinamiche dipendono dall'orientamento del velivolo stesso
- le distribuzioni di forze e masse perdono di significato
2) Velivolo come corpo rigido nello spazio $6 G.D.L$ (3 lin. + 3 rot.)
- equilibrio
- stabilità
- controllo
3) Mezzo modello $3 G.D.L.$ (2 lin. 1 rot.)
- verticale, longitudinale, beccheggio
- si trascura laterodirezionale
4) Modello flessibile, non affrontato nel corso
- Aeroelasticità
**Modello della Terra** $br La Terra viene considerata:
- Piatta
- Non rotante
Queste assunzioni comportano:
- Campo gravitazionale costante e uniforme.
- Traiettorie a quota costante sono rettilinee
- Terra è sistema di riferimento inerziale
**Atmosfera standard:**
| Simbolo | Grandezza | unità | aria standard |
| ----------- | ----------- | ----- | ---- |
| $h$ | quota | $m$ | $11km$ |
| $\rho$ | densità | $kg/m^3$| $1.215 kg/m^3$ |
| $T$ | temperatura | $K$| $288.15K$ |
| $P$ | pressione | $Pa$| $101.3kPa$ |
| $R$ | cost. gas | $KJ/kgK$| $287.1KJ/kgK$|
| $g$ | cost. grav | $m/s^2$| $9.81 m/s^2$ |
| $\lambda$ | coeff T/h | $K/km$| $-6.5K/km$|
*ipotesi di gas perfetto:* $P=\rho*R*T$
*ipotesi di gas in quiete:* $\dfrac{dP}{dh}=-\rho*g$
usando queste ipotesi si possono ricavare $T$,$P$,$\rho$ in funzione di $h$
$$T(h)=
\begin{cases}
T(h) = T_0 + \lambda*h \ | \ h<h_s\\
T(h) = T_s \ | \ h>h_s
\end{cases}$$
con $T_s=216.5K$
$$P(h)=
\begin{cases}
P(h) = P_0 (1+\dfrac{\lambda h}{T_0})^\dfrac{-g}{R\lambda} \ | \ h<h_s\\
P(h) = P_s*e^{\dfrac{-g}{RT_s}(h-h_s)} \ | \ h>h_s
\end{cases}$$
\
la quota $h$ è misurata tramite differenziale di pressione rispetto a questi riferimenti
| Acronimo | Riferimento | Utilizzo |
| ----------- | ----------- | ----- |
| $QNH$ | pressione al livello del mare locale | volo a bassa quota o manovre terminali |
| $QNE$ | pressione standard $P_0$ | separazione tra varie rotte in crociera |
| $QFE$ | lettura pressione aeroporto | atterraggio (in parziale disuso)|
"""
# ╔═╡ 3ea80b56-a7c7-4dd1-aae3-e240e0042145
md"""
# Richiami di cinematica
"""
# ╔═╡ 8e429280-d45f-4aaa-8db6-bb865822def4
md"""
con $\bar r$ si indica il vettore posizione in un generico sistema di riferimento questo è in funzione del tempo come variabile indipendente
"""
# ╔═╡ ce9842db-1d24-43dc-8d23-6964719c80a2
md"""
quindi la velocità e l'accellerazione possono essere scritte come:
$$
\begin{cases}
\bar r(t) = posizione\\
\dot{\bar r}(t) = velocità\\
\ddot{\bar r}(t) = accellerazione\\
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ e4f7b60f-7c55-462c-9ced-da14638b66ae
md"""
anzichè usare il tempo come variabile possiamo usare l' ascissa curvilinea, $S$, ossia lo spostamento del punto $P$ lungo la sua traiettoria
"""
# ╔═╡ c1e6d919-f3c6-4ae0-ad6c-eb6e22b82d3d
md"tempo: $(@bind time1 Slider(0:0.01:10, default=5,show_value=true)) s"
# ╔═╡ 659b9467-0144-4aa5-ba2e-ff76182ee87b
md"""
per esempio, nel caso di un aeromobile in 3 dimensioni si avrà:
"""
# ╔═╡ b79ae4e0-96fb-478e-8fc8-3316c6e394ce
md"tempo: $(@bind time2 Slider(0:0.01:10, default=5,show_value=true)) s"
# ╔═╡ c339e1dd-5889-46c7-874b-e6cc048a39bc
md"""
## Terna intrinseca di Frenet
"""
# ╔═╡ 69e84cbe-b7e4-48c5-a819-3f471f4d091c
md"""
la terna di Frenet è composta da tre versori:
**versore tangente:**
$\hat e_t = \bar r'(S)$
la distanza perscorsa sarà:
$\Delta S = \int_{S0}^{S1} dS = \int_{t0}^{t1} \dot {\bar r}(t)dt$
quindi lo spostamento infinitesimo
$dS= \dfrac{|d \bar r|}{|d t|}*dt$
$dS= |d \bar r|$
$\dfrac{dS}{|d \bar r|}=1$
quindi
$\dfrac{d\bar r}{d S}=\bar r'(S)$
**versore normale:**
$\hat e_n = R*\bar r''(S)$
Dove $R$ è il raggio di curvatura
$R=\dfrac{1}{|\bar r''(S)|}$
**versore binormale:**
$\hat e_b = \hat e_t \wedge \hat e_n$
"""
# ╔═╡ bc13b7b3-7fc4-4007-9025-2597005fa63a
md"S: $(@bind S1 Slider(0:0.01:10, default=5,show_value=true))"
# ╔═╡ 5890b370-d1b9-4372-b429-e2d902a98085
md"""
### Velocità e accellerazione
\
**Velocità:** $\dot{\bar r} =\dot S*\hat e_t$
$\dot{\bar r} = \dfrac{d \bar r}{dt} = \dfrac{d \bar r(S)}{dS} * \dfrac{dS}{dt} = \bar r'(S)* \dot S(t)=\dot S * \bar r' = \dot S*\hat e_t$
la veocità è sempre tangente alla traiettoria
\
\
\
**Accellerazione:** $\ddot{\bar r} =\ddot S*\hat e_t+\dfrac{\dot S^2}{R}*\hat e_n$
dove $\ddot S*\hat e_t$ è la componente tangenziale e $\dfrac{\dot S^2}{R}*\hat e_n$ la componente normale dell'accellerazione.
$\omega = \dfrac{\dot S}{R}$ è la velocità angolare
"""
# ╔═╡ cfb0dd04-abd4-497d-8ed6-1c5e6c3a0ee4
md"""
# Sistemi di riferimento
"""
# ╔═╡ 45661987-c61e-4864-97a6-ac0ac6010d39
md"""
## Quota di volo
Distanza verticale tra velivolo e la superficie terrestre, può essere indicata come:
- Quota assoluta, **absolute altitude:** $AA$ misurata rispetto alla topografia del terreno è utile per voli a bassa quota
- Quota vera, **true altitude** $TA$ misurata rispetto al livello medio del mare è utile per confrontare la distanza verticale tra velivoli in volo
"""
# ╔═╡ 82e5b6b0-def9-46ce-9e1e-8bf25a54b24e
md"S: $(@bind S2 Slider(0:0.01:7, default=5,show_value=true))"
# ╔═╡ a679ab80-4fbb-4e10-845a-bb9ca338bc69
Quota_di_volo(S2)
# ╔═╡ 041459bb-0fad-4ed5-87f9-0c873ae7cfaa
md"""
## Fixed Earth frame $F_E$
chiamato anche navigational frame. è solidale alla Terra e inerziale.
fornisce una buona approssimazione per voli a bassa quota e di breve raggio.
Si può usare come origine la posizione definita da latitudine e longitudine.
Il piano di volo è tangente alla terra nella posizione.
la terna è così definita:
$$F_E=
\begin{cases}
\hat x_E, \hat y_E = versori \ piano\\
\hat z_E = normale \ al \ piano \ e \ discorde \ rispetto\ \bar g\\
origine = p(latitudine,longitudine)
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ bb575fbf-c996-4557-8b08-cc28db9c0db4
md"longitudine: $(@bind longitude Slider(-pi/2:0.1:2*pi-pi/2, default=-pi/4))"
# ╔═╡ 7df38388-286b-4767-8bc6-e56cfdb1f656
md"latitudine: $(@bind latitude Slider(-pi/2:0.1:pi/2, default=0))"
# ╔═╡ 8934ba0d-dbf5-4ef7-9733-530dcd42ef05
md"""
### Velocità al suolo in $F_E$
"""
# ╔═╡ 9ab15e4e-75d8-4fdf-ad53-8dfde7615a95
md"""
Spesso durante il volo la velocità rispetto al suolo **ground speed:** $\bar v_{GS}$ non coincide con la velocità con cui l'aereo viaggia nell'aria. Questo avviene perchè può esserci del vento e quindi l'aria stessa può avere una velocità **wind speed:** $\bar v_W$ rispetto al terreno. Ciò comporta la possibilità di definire anche una velocita di volo rispetto al vento **air speed:** $\bar v_{AS}$
per trovare la $\bar v_{GS}$ che in $F_E$ corrisponde a $\dot{\bar r}_E$ ossia la derivata nel tempo del vettore posizione nel sistema $F_E$ basta quindi fare $\bar v_{GS}=\bar v_{AS}+\bar v_{W}$
la velocità in contesto areonautico è spesso misurata in nodi $Kn$ che sono definiti come miglia nautiche all'ora $\dfrac{mn}{h}$ con $1mn=1852m$
"""
# ╔═╡ 90e78e30-90f6-48cd-b699-3493cd662713
md"rotazione aereo: $(@bind rotazione1 Slider(0:0.01:2*pi, default=pi/2))"
# ╔═╡ 4ed72bd1-6fea-4a90-ae20-b23300f63085
md"velocità al suolo: $(@bind Vgs Slider(0:0.01:0.5, default=0.25))"
# ╔═╡ d3e9ee9d-fcdc-4eab-908a-19301fe18a0a
md"""
## Horizon frame $F_H$
"""
# ╔═╡ f053e0cb-ea7d-43a7-97cf-a90d7d6fa3d4
md"""
Anche chiamato NED (North,East,Down) o "terrestre mobile". Questo sistema di riferimento ha come origine un punto materiale sul velivolo, per esempio il suo baricentro (center of gravity) $CG$. Con $H$ indichiamo il piano dell'orizzonte.
la terna è così definita:
$$F_H=
\begin{cases}
\hat x_H = Nord\\
\hat y_H = East\\
\hat z_H = normale \ a \ H \ e \ concorde \ a\ \bar g\\
origine = CG \ velivolo
\end{cases}$$
da notare che la terna è indipendente rispetto all'asetto di volo in quanto definita rispetto alla terra
"""
# ╔═╡ 890cbbea-f86c-46da-b375-fd2a54dcd653
md"rotazione aereo: $(@bind rotazione_2 Slider(0:0.01:2*pi, default=2*pi/3))"
# ╔═╡ ed65d686-ebaf-4cf4-a779-0283fd36583c
md"""
### Angoli di traiettoria
Definiscono il moto del velivolo rispetto alla Terra
- **Angolo di rampa:**
$\gamma=-sin^{-1}(\dfrac{\bar v*\hat z_H}{|\bar v|}) =-sin^{-1}(\hat e_t*\hat z_H)$
- **Angolo di rotta:**
$\chi=tan^{-1}(\dfrac{\bar v*\hat y_H}{\bar v* \hat x_H})= tan^{-1}(\dfrac{\hat e_t*\hat y_H}{\hat e_t*\hat x_H})$
"""
# ╔═╡ 9350c9d1-f4cd-4633-8513-50ac1a9311ef
md"angolo di rampa $\gamma$: $(@bind gamma1 Slider(-360:1:360, default=20, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 31437c3c-a21a-4301-9efd-de00c86a0e2e
md"angolo di rotta $\chi$: $(@bind chi1 Slider(-360:1:360, default=55,show_value=true)) °"
# ╔═╡ f1b15f3f-60a4-4605-953b-f4393a2de8a2
md" modulo della velocità $v$: $(@bind vh1 Slider(0:0.01:1, default=1,show_value=true))"
# ╔═╡ 49f7985f-e7f4-4cae-bbe3-c1821489c76c
md"""
### Velocità in $F_H$
La $\bar v$ può essere scomposta nelle velocità lungo i tre versori che definiscono la base del sistema $F_H$ possono essere così definite:
- velocità verticale:
$v_v= |\bar v|*sin(\gamma)$
- velocità sul piano $H$:
$v_H=|\bar v|*cos(\gamma)$
- velocità verso Nord:
$v_{NH}=v_H*cos(\chi)$
- velocità verso Est:
$v_{EH}=v_H*sin(\chi)$
"""
# ╔═╡ 42038324-7780-4b84-a0de-2f36cf30212b
md"angolo di rampa $\gamma$: $(@bind gamma2 Slider(-360:1:360, default=35, show_value=true)) °"
# ╔═╡ d6ef6fcb-ee92-4d71-a0b4-5d25befaa16f
md"angolo di rotta $\chi$: $(@bind chi2 Slider(-360:1:360, default=55,show_value=true)) °"
# ╔═╡ 8c312483-ec4d-4c1d-a88a-626f7715928a
let
vh2 = 1
g = deg2rad(gamma2)
c = deg2rad(chi2)
# speeds
vH=vh2*cos(g)
vv=vh2*sin(g)
vNH=vH*sin(c)
vEH=vH*cos(c)
# climb rate speed
pg = plot(aspect_ratio=:equal, xlims=(-1, 1), ylims=(-1, 1),showaxis=false,legendfont=font(12),legend=:topleft)
# N
pg = plot!([-0.05,0.05],[-0.05,0.05], c=:red,label=L"\hat x_H",linewidth=3)
pg = plot!([0.05,-0.05],[-0.05,0.05], c=:red,label="",linewidth=3)
# E
pg = plot!([0, 1], [0, 0], arrow=true, color=:green, label=L"\hat y_H",linewidth=2)
# D
pg = plot!([0, 0], [0, -1], arrow=true, color=:blue, label=L"\hat z_H",linewidth=2)
# v
pg = plot!([0, vH], [0, vv], arrow=true, color=:purple, label=L"\bar v",linewidth=2)
# vv
pg = plot!([vH, vH], [0, vv], arrow=true, color=:coral, label=L"v_v",linewidth=2)
# vH
pg = plot!([0, vH], [0, 0], arrow=true, color=:brown, label=L"v_H",linewidth=2)
# speed on plane,N,E
pc = plot(aspect_ratio=:equal, xlims=(-1, 1), ylims=(-1, 1),showaxis=false,legendfont=font(12),legend=:topleft)
# N
pc = plot!([0, 0], [0, 1], arrow=true, color=:red, label=L"\hat x_H",linewidth=2)
# E
pc = plot!([0, 1], [0, 0], arrow=true, color=:green, label=L"\hat y_H",linewidth=2)
# D
pc=plot!([-0.05,0.05],[-0.05,0.05], c=:blue,label=L"\hat z_H",linewidth=3)
pc=plot!([0.05,-0.05],[-0.05,0.05], c=:blue,label="",linewidth=3)
# vH
pc = plot!([0, vEH], [0, vNH], arrow=true, color=:brown, label=L"v_H",linewidth=2)
# vN
pc = plot!([0, 0], [0, vNH], arrow=true, color=:yellow, label=L"v_N",linewidth=3)
# vH
pc = plot!([0, vEH], [0, 0], arrow=true, color=:lime, label=L"v_E",linewidth=2)
plot(pg, pc, layout = (1, 2))
end
# ╔═╡ 46d626ec-d721-468e-9129-7ae9334d7c05
md"""
possiamo riscrivere la velocità $\bar v$ sulla nuova base $F_H$ partendo dai vettori velocità:
$\bar v_v= -|\bar v|*sin(\gamma)*\hat z_H$
$v_H=|\bar v|*cos(\gamma)$
$\bar v_{NH}=v_H*cos(\chi)*\hat x_H=|\bar v|*cos(\gamma)*cos(\chi)*\hat x_H$
$\bar v_{EH}=v_H*cos(\chi)*\hat y_H=|\bar v|*cos(\gamma)*sin(\chi)*\hat y_H$
$\bar v_{F_H}=\bar v_{NH}+\bar v_{EH}+\bar v_v$
$\downarrow$
$\bar v_{F_H}=|\bar v|*(cos(\gamma)*sin(\chi)*\hat x_H+cos(\gamma)*cos(\chi)*\hat y_H-sin(\gamma)*\hat z_H)$
$\downarrow$
$\bar v_{F_H}=|\bar v|*\begin{bmatrix} cos(\gamma)*cos(\chi)\\\ cos(\gamma)*sin(\chi) \\\ -sin(\gamma) \end{bmatrix}$
"""
# ╔═╡ 0635e8b7-1ebc-4a28-94fc-da0796146b4e
md"""
Da cui possiamo definire la velocità angolare $\omega_{F_H}$:
$\omega_{F_H}=\sqrt{\dot \gamma^2+\dot \chi^2*cos^2(\gamma)}$
"""
# ╔═╡ 05ec308d-c9f9-4c17-b15d-ada5d0a64b89
md"""
## Body frame $F_B$
"""
# ╔═╡ 1c754b21-6a19-4752-9ec4-8e4bd37b73a0
md"""
Il sistema $F_B$ è solidale al velivolo, l'orgine si trova su un punto materiale, spesso conviene usare $CG$
la terna è così definita:
$$F_B=
\begin{cases}
\hat x_B = verso \ la \ prua \ (asse \ rollio \ |Roll|)\\
\hat y_B = verso \ ala \ destra \ (asse \ beccheggio \ |Pitch|)\\
\hat z_B = verso \ il \ ventre \ (asse \ imbardata \ |Yaw|)\\
origine = CG \ velivolo
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 94c96468-411c-4e01-b2f1-88cff2b6169c
md"""
viene definito piano simmetrico materiale il piano generato da $\hat x_B\hat z_B$ lo indichiamo con $PSM$
"""
# ╔═╡ e8bbcc41-02b6-43d7-b842-21ddfa92b49b
md"""
### Angoli di assetto
Definiscono l'orientamento del velivolo rispetto a $F_H$
- **Angolo di imbardata (Heading) :**
$\psi=tan^{-1}(\dfrac{\hat x_B*\hat y_H}{\hat x_B*\hat x_H})$
- **Angolo di beccheggio (Pitch) :**
$\theta=-sin^{-1}(\hat x_B*\hat z_H)$
- **Angolo di rollio (Roll) :**
$\phi=sin^{-1}(\hat y_B*\hat z_H)$
Attenzione $\gamma \neq \ \theta$ perchè $\theta$ a diffrenza di $\gamma$ non dipende da $\bar v$ stesso vale per $\psi$ e $\chi$ come si può vedere qui sotto $\chi$ è rispetto al $\bar v_H$ metre $\psi$ rispetto a $\hat x_B$ vedremo più avanti che esiste un angolo chiamato **Angolo di deriva:** $\beta=\chi-\psi$ e solo se $\beta=0\rightarrow\chi=\psi$
"""
# ╔═╡ 4f1f40e4-0d53-41dd-a8bc-93c69a3e0c1b
md"angolo di imbardata $\psi$: $(@bind psi1 Slider(-360:1:360, default=35, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 140eb5fe-d3c7-4c0e-bc2d-b7e377a953d5
md"angolo di beccheggio $\theta$: $(@bind theta1 Slider(-360:1:360, default=35, show_value=true)) °\
definito positivo a cabrare"
# ╔═╡ 0a9510c2-7b71-44d5-8223-9d398890a53b
md"angolo di rollio $\phi$: $(@bind phi1 Slider(-360:1:360, default=15, show_value=true)) °"
# ╔═╡ c53bc007-1f1e-41e7-a9c3-c71a0d6c63c1
md"""
### Angoli aereodinamici
Definiscono l'orientamento del velivolo rispetto al vento
- **Angolo di deriva (Side slip):**
$\beta=sin^{-1}(\dfrac{\bar v * \hat y_B}{|\bar v|})$
- **Angolo di incidenza (Attack angle):**
$\alpha=tan^{-1}(\dfrac{\bar v * \hat z_B}{\bar v*\hat x_B})$
Quindi $\beta$ è l'angolo tra $\bar v_{AS}$ e il $PSM$ mentre $\alpha$ è l'angolo tra la proiezione di $\bar v_{AS}$ su $PSM$ e $\hat x_B$
"""
# ╔═╡ afe62312-eff7-4c8d-8f9b-03b4a94eac40
md"angolo di deriva $\beta$: $(@bind beta1 Slider(-45:1:45, default=15, show_value=true)) °"
# ╔═╡ c55079d2-0bf7-4094-bcf8-8de86d0d001a
md"angolo di deriva $\beta$: $(@bind beta2 Slider(-45:1:45, default=35, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 93b9b3a4-9493-4085-a73e-9b8c4be45b96
md"angolo di incidenza $\alpha$: $(@bind alpha2 Slider(-45:1:45, default=20, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 65b12662-2f8f-4bea-aadf-d7791eb24ecd
md"""
### Velocità all'aria
La $\bar v_{AS}$ può essere scomposta nelle velocità lungo i tre versori chedefiniscono la base del sistema $F_B$ usando gli angoli aerodinamici:
$$\bar v_{F_B}=
\begin{cases}
\bar v_{AS}*\hat y_B = | \bar v_{AS}|*sin(\beta)\\
\bar v_{PSM} = | \bar v_{AS}|*cos(\beta)
\end{cases}$$
$\downarrow$
$$\bar v_{F_B}=
\begin{cases}
\bar v_{\hat x_B} = | \bar v_{AS}|*sin(\beta)*cos(\alpha) \\
\bar v_{\hat y_B} = | \bar v_{AS}|*sin(\beta) \\
\bar v_{\hat z_B} = | \bar v_{AS}|*cos(\beta)*sin(\alpha)
\end{cases}$$
\
Possiamo ora fare un paio di ipotesi nel caso degli aerei:
$$\begin{cases}
v_{\hat z_B}>>v_{\hat y_B} \ altrimenti \ moto \ laterale \\
v_{\hat x_B}>>v_{\hat z_B} \ altrimenti \ stallo
\end{cases}$$
$\downarrow$
$\bar v_{F_B} \approx \hat x_B \rightarrow \beta\approx\dfrac{v_{\hat y_B}}{|\bar v_{AS}|},\alpha\approx\dfrac{v_{\hat z_B}}{|\bar v_{AS}|}$
queste approssimazioni sono valide per $\alpha, \beta$ piccoli
"""
# ╔═╡ 86118dd3-99f7-4470-b9c1-ab5c8be001c3
md"""
## Aerodynamic frame $F_A$
Il sistema $F_A$ è usato per calcolare le forzanti aereodinamiche, l'orgine si trova in $CG$, viene definito a partire da $F_B$ tramite 2 rotazioni consecutive. La prima rotazione è di $-\alpha$ attorno a $\hat y_B$ che ci porta allo Stability Frame $F_S$ la seconda è di $\beta$ attorno a $\hat z_S$ che ci porta a $F_A$
la terna è così definita:
$$F_A=
\begin{cases}
\hat x_A = verso \ la \ \bar v_{AS}\\
\hat y_A = \hat x_B \wedge \hat z_A\\
\hat z_A = su \ PSM \ e \ normale \ a \ \hat x_A\\
origine = CG \ velivolo
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 454992df-7cf2-439f-97a3-f47df6d4ce14
md"angolo $\alpha_{F_S}$: $(@bind asfi Slider(-45:1:45, default=0, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 47e28d45-2a52-4a78-9970-efd6436a377e
md"angolo $\beta_{F_S}$: $(@bind bsfi Slider(-45:1:45, default=0, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 4b0d29d1-43e3-4db7-a797-0ca2e08a51c0
md"""
# Classificazione dei regimi di volo
## Tipologie di volo comuni
- Uniforme:
$|\dot{\bar v}|=0 \rightarrow |\bar v|=cost$
- Rettilineo:
$R=\infty\rightarrow \omega=0 \rightarrow \dot\chi,\dot\gamma=0$
- Orizzontale:
$$\begin{cases}
\gamma=0 \\
\gamma>0 \ salita \\
\gamma<0 \ discesa
\end{cases}$$
- Nel piano verticale:
$\dot\chi=0\rightarrow
\omega = \dot\gamma$
- Simmetrico:
$\beta=0\rightarrow\bar v_{AS}\in PSM$
con $PSM$ che è il piano di simmetria
- Livellato:
$\phi=0$
- Simmetrico nel piano orizzontale:
$$\begin{cases}
\beta=0 \\
\gamma=0 \\
\omega=\dot\chi
\end{cases}$$
- Orizzontale rettilineo unifrome ($VORU$):
$$\begin{cases}
|\dot{\bar v}|=0 \\
R=\infty \\
\gamma=0
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ dc250eda-e9d9-437d-b549-2992973d9cf1
md"""
## Manovre curvilinee
- Richiamata (Pull-up):
$\dot\gamma>0$
- Affondata (Dive)
$\dot\gamma<0$
- Virata positiva, verso destra (Right turn):
$\dot\chi>0$
- Virata negativa, verso sinistra (Left turn):
$\dot\chi<0$
"""
# ╔═╡ ba58fd28-983b-4688-bd7c-14512fe63402
md" $\dot\gamma$: $(@bind dgamma1 Slider(-4:0.1:4, default=2, show_value=true)) °/s"
# ╔═╡ ebcb05ec-541e-40c5-9438-e5db68747541
md" $\dot\chi$: $(@bind dchi1 Slider(-4:0.1:4, default=2, show_value=true)) °/s"
# ╔═╡ a765006c-29fb-47cc-801e-d9cf62952091
md"""
# Elementi di Aereodinamica
## Equazioni cardinali
Notazione:
- Quantità di moto e momento di qdm: $\bar Q$ , $\bar H$
- Forze e momenti aereodinamici: $\bar F$ , $\bar M$
- Forze e momenti dovuti alla propulsione: $\bar T$ , $\bar \Gamma$
- Forze e momenti dovuti al peso: $\bar W$ , $\bar\Sigma$
$$\begin{cases}
\dfrac{d\bar Q}{dt}=\bar F+\bar T+\bar W \\
\dfrac{d\bar H_P}{dt}=\bar M_P+\bar\Gamma_P+\bar\Sigma_P
\end{cases}$$
Il bilancio tramite le equazioni cardinali può essere svolto su un generico punto $P$, tuttavia se si utilizza il centro di gravità $CG\rightarrow \bar\Sigma_G=0$
$$\begin{cases}
\dot{\bar Q}=\bar F+\bar T+\bar W \\
\dot{\bar H_G}=\bar M_G+\bar\Gamma_G
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 18a37d1e-2ce2-4710-b429-788c559c31c3
md"""
## Forza aerodinamica
Un corpo immerso in un fluido subisce delle forze dovute a attriti viscosi e differenze di pressioni esercitate sulla superficie dello stesso. Queste possono generare momenti. Possiamo ricavarle facendo l'integrale chiuso sulla superficie del corpo per il contributo degli sforzi.
Con $\bar\tau$ indichiamo il tensore degli sforzi, con $P_0$ il punto di riduzione dei momenti, $Q$ è una posizione variabile all'interno del corpo, $\bar n$ il versore normale alla superficie e $\mu$ la viscosità del fluido
- Forza aerodinamica:
$\bar F=\oint{\bar\tau \ dS}$
- Momento rispetto al punto $P_0$:
$\bar M_P=\oint {\bar\tau \wedge(P-Q)*dS}$
Dalle equazioni di Navier Stokes
$\bar\tau = -P\bar n -\dfrac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\bar v)\bar n + 2\mu(\nabla\cdot\bar v)^T\bar n$
Ricaviamo un legame funzionale tra $\bar \tau$ e le grandezze che lo influenzano
$\bar\tau=\bar\tau(P,\bar v,\mu,\bar n)$
Possiamo ora passare al' **espressione funzionale della forza aerodinamica** $\bar F$
$\bar F = \bar F(P,\bar V,\mu,\bar n,S)$
dove $P,\bar V$ sono i valori della pressione e velocità locale e $S$ la superficie, tuttavia sotto le nostre ipotesi di lavoro possiamo riscriverla in funzione dei valori del flusso indisturbato riducendo il numero di variabili:
Usando la legge dei gas perfetti $P=\rho*R*T$
$\bar F = \bar F(\rho_\infty,T_\infty,\mu_\infty,\bar V_\infty,\bar n,S)$
Usiamo ora la velocità del suono in un fluido $a=\sqrt{\rho RT}$
$\bar F = \bar F(\rho_\infty,a_\infty,\mu_\infty,\bar V_\infty,\bar n,S)$
Riscriviamo $\bar V_\infty$ con $F_A$ $\rightarrow \bar V_\infty=f(|\bar v_{AS}|,\alpha,\beta)$
$\bar F = \bar F(\rho_\infty,a_\infty,\mu_\infty,|\bar v_{AS}|,\alpha,\beta,\bar n,S)$
Quest'ultima è l' **Espressione funzionale della forza aerodinamica**
"""
# ╔═╡ 229ffa9f-145b-4fe1-b063-0ffb598bb918
md"""
## Teorema di Buckingham $(\pi)$
Ogni equazione fisica dipendente da $n$ variabili fisiche $[q_i]$ esprimibili intermini di K quantità fisiche fondamentali è rappresentabile come funzione di $n-K$
variabili adimensionali $\Pi_j$ costruite moltiplicando tra loro combinazioni delle
variabili fisiche originali
Vediamo ad esempio la forza aereodinamica:
- 5 variabili fisiche $\rightarrow \rho,|\bar v|,\mu,a,S$
- 3 grandezze fisiche fondamentali $L, M, T$ (lunghezza,massa,tempo)
variabili adimensionali $\Pi_j=5-3=2$
- Raccogliamo in $K$ i restanti parametri adimensionali $K=K(\alpha,\beta,forma)$
scriviamo la relazione
$|\bar F|=K*\rho^{e_\rho}*a^{e_a}*\mu^{e_\mu}*V^{e_V}*S^{e_S}$
facciamo l'analisi dimensionale
$[MLT^{-2}]=[ML^{-3}]^{e_\rho}[LT^{-1}]^{e_a}[ML^{-1}T^{-1}]^{e_\mu}[LT^{-1}]^{e_V}[L^2]^{e_S}$
uguagliamo gli esponenti di $M,L,T$ per ricavare un sistema di equazioni
$$\begin{cases}
[M]\rightarrow 1 = e_\rho + e_\mu\\
[L]\rightarrow -2 = -3 e_\rho + e_a - e_{\mu}+e_V+2e_S\\
[T]\rightarrow -2=-e_a-e_\mu-e_V\\
\end{cases}$$
abbiamo 3 equazioni e 5 incognite, il sistema è sottodeterminato possiamo scriverlo tramite combinazioni lineari di 2 variabili, secondarie, scegliamo come variabili secondarie $e_\mu,e_a$ e riscriviamo il sistema
$$\begin{cases}
e_\rho = 1 - e_\mu\\
e_S = \dfrac{1}{2}(-2+3 e_\rho - e_a + e_{\mu}-e_V)\\
e_V=2-e_a-e_\mu\\
\end{cases}$$
$\downarrow$
$$\begin{cases}
e_\rho = 1 - e_\mu\\
e_S = 1-\dfrac{1}{2}e_\mu\\
e_V=2-e_a-e_\mu\\
\end{cases}$$
Riscriviamo $|\bar F|$ in funzione delle relazioni trovate
$|\bar F|=K*\rho^{1 - e_\mu}*a^{e_a}*\mu^{e_\mu}*V^{2-e_a-e_\mu}*S^{1-\dfrac{e_\mu}{2}}$
$\downarrow$
$|\bar F|=K \rho V^{2} S (\dfrac{a}{V})^{e_a} (\dfrac{\mu}{\rho V \sqrt{S}})^{e_\mu}$
Tra questi riconosciamo che $(\dfrac{\mu}{\rho V \sqrt{S}})$ è il numero di Reynolds invertito quindi $(\dfrac{\mu}{\rho V \sqrt{S}})=Re^{-1}$ mentre $\dfrac{a}{V}$ è il numero di Mach invertito quindi $Ma^{-1}=\dfrac{a}{V}$
Riscriviamo di nuovo $|\bar F|$ raccogliendo tutti i termini adimensionali in un unico coefficiente $C_F=C_F(\alpha,\beta,forma,Ma^{-e_a},Re^{-e_\mu})$
$|\bar F|=\dfrac{1}{2} \rho V^2 S C_F$
Questa è la formulazione tipica delle forze aerodinamiche quali lift e drag, che raccogliento i primi termini nella pressione dinamica $q_D$ diventa:
$|\bar F|=q_D S C_F$
La procedura è equivalente per i momenti aggiungendo $l$ lunghezza di riferimento si ottiene:
$|\bar M|=q_D l C_M$
Questa riscrittura è molto conveniente, avendo i due corpi di dimensioni diverse lo stesso $C_F,C_M$, è quindi sufficiente conoscere $q_D,S$ dell'areomobile vero per poter calcolare le forze che subirà in volo a partire dalle forze rilevate su un suo modello in galleria del vento
"""
# ╔═╡ 6a64478c-4a13-454e-a2fc-19e289638b44
md"""
## Definizioni per le forzanti aerodinamiche
Scomponiamo $\bar F$ e $\bar M_P$ rispetto ai sistemi di riferimento $F_A$ e $F_B$
- Scomposizione della forza aerodinamica $\bar F$ in $F_A$
$$\begin{cases}
D = -\hat x_A \cdot \bar F \rightarrow resistenza \rightarrow q_DSC_D=D
\\ Q = -\hat y_A \cdot \bar F \rightarrow devianza \rightarrow q_DSC_Q=Q
\\ L = -\hat z_A \cdot \bar F \rightarrow portanza \rightarrow q_DSC_L=L
\end{cases}$$
$\bar F= -(D\hat x_A+Q\hat y_A+L\hat z_A)=-q_DS(C_D\hat x_A+C_Q\hat y_A+C_L\hat z_A)$
- Scomposizione dei momenti aerodinamici $\bar M_P$ in $F_B$
$$\begin{cases}
\mathcal{L}_P= \hat x_B \cdot \bar M_P \rightarrow momento \ di \ rollio \rightarrow q_DSbC_{\mathcal{L}_P}=\mathcal{L}_P
\\ \mathcal{M}_P= \hat y_B \cdot \bar M_P \rightarrow momento \ di \ beccheggio \rightarrow q_DS\bar cC_{\mathcal{M}_P}=\mathcal{M}_P
\\ \mathcal{N}_P= \hat z_B \cdot \bar M_P \rightarrow momento \ di \ imbardata \rightarrow q_DSbC_{\mathcal{N}_P}=\mathcal{N}_P
\\(b = apertura \ alare)(\bar c = corda \ aerodinamica \ media)
\end{cases}$$
$\bar M_P=\mathcal{L}_P\hat x_B+\mathcal{M}_P\hat y_B+\mathcal{N}_P \hat z_B$
- Scomposizione su assi corpo $\bar F$ in $F_B$
$$\begin{cases}
X = \hat x_B \cdot \bar F \rightarrow longitudinale \rightarrow X \approx -D + L\alpha
\\ Y = \hat y_B \cdot \bar F \rightarrow trasversale \rightarrow Y \approx -Q
\\ Z = \hat z_B \cdot \bar F \rightarrow verticale \rightarrow Z \approx -L
\\ approssimazioni \ valide \ per \ \alpha,\beta<<1
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 66ce96db-5d29-4761-b069-b885f224754b
md"""
## Analisi del profilo
"""
# ╔═╡ fdb1a314-8c93-4e13-96e1-cfe9d48978b7
md"""
Per profilo alare si intende una sezione longitudinale ideale e piana di un'ala. Possiamo inoltre definire con $\alpha$ l'angolo di incidenza del profilo alare. Questo rappresenta l'angolo compreso tra la direzione del flusso d'aria che colpisce il profilo e l'asse $\hat x_B$
"""
# ╔═╡ a1211f22-1f94-47fe-ae55-b5d06bb3000e
md"angolo di incidenza $\alpha$: $(@bind alpha3 Slider(-45:1:45, default=20, show_value=true)) °"
# ╔═╡ cb81651b-b845-4352-ac5b-6de837c81daa
md"""
$\begin{cases}
\bar F = -(D \hat x_A + L \hat z_A)\\
M = M_P \hat y_B\\
\end{cases}$
profili:
| Profilo | $CL_0$ | $\alpha_0$ |
| ----------- | ----------- | ----- |
| $simmetrico$ | 0 | 0 |
| $convesso$ | + | - |
| $concavo$ | - | + |
"""
# ╔═╡ feebbb65-9813-41a3-835e-447cdb309507
md"""
### Portanza
"""
# ╔═╡ a7a72e04-fe81-4827-8ce3-c92389e332cf
begin
#Disegno il grafico
plot(xlims=(-2, 12), ylims=(-2, 12), legendfont=font(8), legend=:topleft,xlabel=L"\alpha", ylabel=L"C_L", title=L"Portanza", framestyle=:origin)
# xlabel=L"\alpha", ylabel=L"C_L",
#Andamento lineare
alpha_lin= range(-2, 6.5, length=360)
lineare(alpha_lin)=1.5+0.85.*alpha_lin
plot!(alpha_lin, lineare.(alpha_lin), color=:red, label="Andamento lineare")
#Andamento stallo
x = 6.5:0.5:11
y = @. -1.5*sin(x/2)+6.87
#Interpolazione e funzione
itp_cubic = cubic_spline_interpolation(x, y)
f_cubic(x) = itp_cubic(x)
#Plot
x_new = 6.5:0.1:11
plot!(f_cubic, x_new, color=:blue, label="Andamento non lineare")
# Punti notevoli
x_portanza_nulla=[-1.7647]
y_portanza_nulla=[0]
scatter!(x_portanza_nulla, y_portanza_nulla, markersize=5,label="Portanza nulla")
x_incidenza_nulla=[0]
y_incidenza_nulla=[1.5]
scatter!(x_incidenza_nulla, y_incidenza_nulla, markersize=5, label="Incidenza nulla")
x_stallo=[9.42]
y_stallo=[8.37]
scatter!(x_stallo, y_stallo, markersize=5, label="Punto di stallo")
plot!([9.42,9.42], [0, 8.37], linestyle=:dash, label="Angolo di stallo")
end
# ╔═╡ 6499fc49-aa30-4149-9c65-ee22c4278971
md"""
La portanza è caratterizzata da un andamento lineare fino ad un certo angolo di incidenza. L'angolo alla quale si raggiunge la configurazione di incidenza massima è detto angolo di stallo. Tale condizione indica uno stato del profilo alare in cui gli effetti della separazione del flusso investono gran parte dell'estradosso del profilo stesso, portando ad un incremento della resistenza dovuta alla geometria del profilo. Un altro angolo notevole è l'angolo $\alpha_{ZL}$, ovvero di $zero$ $lift$, alla quale si ha portanza nulla.
Nella regione lineare il coefficiente di portanza ha andamento:
$C_L = C_{L0} + C_{L/\alpha} * \alpha$
Con $C_{L/\alpha}$ che indica la derivata del coefficiente di portanza rispetto ad $\alpha$.
Il coefficiente di portanza è esprimibile anche in funzione dell'angolo di incidenza assoluta, o $\alpha_A$, che esprime l'angolo compreso tra il flusso d'aria che colpisce il profilo e l'asse di incidenza nulla, tale per cui $\alpha_A$ = $\alpha$ - $\alpha_{ZL}$. L'equazione diventa quindi:
$C_L = C_{L/\alpha} (\alpha - \alpha_{ZL}) = C_{L/\alpha} * \alpha_A$
"""
# ╔═╡ 1223ece4-7911-4545-b57d-ce5e80c432c4
md"""
### Resistenza
La resistenza del profilo si divide in una componente dovuta alla separazione (resistenza di pressione $D_P$), fortemente dipendente dall'angolo di incidenza, e da una componente quasi svincolata da $\alpha$ (resistenza di attrito $D_f$). Vengono supposti costanti il numero di Mach e di Reynolds.
L'efficienza, o $lift$-$to$-$drag$ $ratio$, viene definita come
$E = C_L/C_D$
Rappresentando quindi l'andamento del coefficiente di portanza al variare del coefficiente di resistenza in un diagramma polare, possiamo identificare l'efficienza misurando la pendenza della retta passante per l'origine e il punto sull grafico che coincide con l'assetto di volo. Ne deriva che l'intersezione tra la retta dell'efficienza con pendenza massima e la polare è l'assetto di volo con efficienza massima. Nel grafico è possibile identificare altri assetti notevoli, quali il punto di assetto con resistenza minima e il punto di assetto con portanza nulla.
"""
# ╔═╡ bc3ed5c1-248e-419d-abd6-86247955629d
let
#Disegno il grafico
plot(xlims=(-2, 8), ylims=(-2, 12), legendfont=font(8), legend=:topleft,xlabel=L"C_D", ylabel=L"C_L", title=L"Portanza", framestyle=:origin)
#Polare
CL=range(0,10,length=360)
CD_min=1.5
CL_CD_min=2
K=0.1
CD(CL)=CD_min+K*(CL-CL_CD_min)^2
plot!(CD.(CL), CL, color=:blue, label="Polare")
#Punti notevoli
#Efficcienza max
rapporto=CL./CD.(CL)
max_ratio=maximum(rapporto) #2.1196141518042495
findall(x->x==max_ratio, rapporto) #131
CL_max_E=CL[131] #4.345403899721449
CD_max_E=CD.(CL_max_E) #2.050091945282858
scatter!((CD_max_E, CL_max_E), markersize=5, color=:orange, label="Punto di efficienza massima")
CD_efficienza=range(0,CD_max_E,length=100)
retta(CD_efficienza)=max_ratio*CD_efficienza
plot!(CD_efficienza, retta(CD_efficienza), color=:orange, label="Efficienza massima", linestyle=:dash)
#Zero lift
CL_0L=0
CD_0L=CD.(CL_0L)
scatter!((CD_0L, CL_0L), markersize=5, color=:purple, label="Coefficiente di resistenza a portanaz nulla")
#Drag minima
dCD(CL)=derivative(CD)
for i in CL
if dCD(i)==0
CL_CD_min=i
end
end
CD_min=CD(CL_CD_min)
scatter!((CD_min, CL_CD_min), markersize=5, color=:red, label="Punto di resistenza minima")
plot!([CD_min, CD_min], [0, CL_CD_min], linestyle=:dash, color=:red, label="Resistenza minima")
end
# ╔═╡ 39a6e128-9ec1-40b7-9bf3-aa8700b3bc18
md"""
## Momento di beccheggio
"""
# ╔═╡ f90cf039-dc07-4e5d-a554-0314e3e988a0
md"""
Possiamo definire un coefficiente di momento di beccheggio applicato al punto generico P sul profilo, $C_{M_{P}}$ in funzione dell'angolo di incidenza $\alpha$, sempre considerando Mach e Reynolds costanti.
Dal momento che il valore del coefficiente di momento di beccheggio varia in funzione della posizione del punto P considerato, possiamo definire dei poli particolari nella quale ridurre i momenti (i.e. centro di pressione e centro aerodinamico del profilo) per poi applicare la regola del trasporto dei momenti.
Possiamo quindi definire il polo in cui riduciamo i momenti come punto $Q$ e di conseguenza il punto P come il polo in cui desideriamo misurare le forze e i momenti, le quali sono:
$\bar F = - (D \bar x_A + L \bar z_A)$
$\bar M_Q = M_Q \bar y_B = M_Q \bar y_A$
Ricordando che stiamo analizzando il profilo $2D$, consideriamo $\beta = 0$. Dunque
$\bar M_P = ( \bar {Q - P}) \wedge \bar F + \bar M_Q$
Possiamo analizzare i fattori del prodotto vettoriale:
$(\bar{Q-P}) = (x_Q - x_P) \bar x_B + (z_Q - z_P) \bar z_B = X \bar x_B + Z \bar z_B$
e
$\bar F = - (D \bar x_A + L \bar z_A)$
Potendo convertire i versori dalla terna $F_H$ a quella $F_B$
$\bar x_A = cos(\alpha)\bar x_B + sin(\alpha)\bar z_B$
$\bar z_A = -sin(\alpha)\bar x_B + cos(\alpha)\bar z_B$
Quindi sostituendo e ricordando i legami della terna $F_B$:
$\begin{cases}
\bar M_P = - (X\bar x_B + Z\bar z_B) \wedge [D(cos(\alpha)\bar x_B+ sin(\alpha)\bar z_B)+L(-sin(\alpha)\bar x_B +cos(\alpha)\bar z_B)] + \bar M_Q\\
\bar x_B \wedge \bar z_B = \bar y_B\\
\bar z_B \wedge \bar x_B = -\bar y_B
\end{cases}$