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### A Pluto.jl notebook ###
# v0.19.37
using Markdown
using InteractiveUtils
# This Pluto notebook uses @bind for interactivity. When running this notebook outside of Pluto, the following 'mock version' of @bind gives bound variables a default value (instead of an error).
macro bind(def, element)
quote
local iv = try Base.loaded_modules[Base.PkgId(Base.UUID("6e696c72-6542-2067-7265-42206c756150"), "AbstractPlutoDingetjes")].Bonds.initial_value catch; b -> missing; end
local el = $(esc(element))
global $(esc(def)) = Core.applicable(Base.get, el) ? Base.get(el) : iv(el)
el
end
end
# ╔═╡ 43b35f35-5d9c-4fc2-b778-e356cad72978
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using
Plots,
PlutoUI,
Rotations,
LaTeXStrings
gr()
print("Dependencies")
end
# ╔═╡ 38b8bf30-b673-11ee-0868-8df22983dbe9
md"""
# Meccanica del volo atmosferico
## Davide Viganò
## Cristina Truant
### 28/1/24
"""
# ╔═╡ 51934362-4b1f-4aea-bcf3-a3a892de83a1
md"""
# Intro
Questo notebook interattivo è progettato per essere una risorsa nello studio della meccanica del volo atmosferico. È destinato a coloro che desiderano approfondire la comprensione del funzionamento del volo atmosferico, ed analizzare come specifici elementi di design dell'aeromobile influenzino le sue prestazioni in volo.
"""
# ╔═╡ 258dcb67-de1f-48b6-978f-86ba4603b244
md"""
# Ipotesi con cui lavoriamo
**Modelli del Velivolo** $br Nella rappresentazione matematica del problema è possibile scegliere diversi tipi di modellazione in base alla quantità di informazioni che si vuole ricavare.
1) Punto materiale "orientato" $3 G.D.L$ + sistema di riferimento
- le forze aerodinamiche dipendono dall'orientamento del velivolo stesso
- le distribuzioni di forze e masse perdono di significato
2) Velivolo come corpo rigido nello spazio $6 G.D.L$ (3 lin. + 3 rot.)
- equilibrio
- stabilità
- controllo
3) Mezzo modello $3 G.D.L.$ (2 lin. 1 rot.)
- verticale, longitudinale, beccheggio
- si trascura laterodirezionale
4) Modello flessibile, non affrontato nel corso
- Aeroelasticità
**Modello della Terra** $br La Terra viene considerata:
- Piatta
- Non rotante
Queste assunzioni comportano:
- Campo gravitazionale costante e uniforme.
- Traiettorie a quota costante sono rettilinee
- Terra è sistema di riferimento inerziale
**Atmosfera standard:**
| Simbolo | Grandezza | unità | aria standard |
| ----------- | ----------- | ----- | ---- |
| $h$ | quota | $m$ | $11km$ |
| $\rho$ | densità | $kg/m^3$| $1.215 kg/m^3$ |
| $T$ | temperatura | $K$| $288.15K$ |
| $P$ | pressione | $Pa$| $101.3kPa$ |
| $R$ | cost. gas | $KJ/kgK$| $287.1KJ/kgK$|
| $g$ | cost. grav | $m/s^2$| $9.81 m/s^2$ |
| $\lambda$ | coeff T/h | $K/km$| $-6.5K/km$|
*ipotesi di gas perfetto:* $P=\rho*R*T$
*ipotesi di gas in quiete:* $\dfrac{dP}{dh}=-\rho*g$
usando queste ipotesi si possono ricavare $T$,$P$,$\rho$ in funzione di $h$
$$T(h)=
\begin{cases}
T(h) = T_0 + \lambda*h \ | \ h<h_s\\
T(h) = T_s \ | \ h>h_s
\end{cases}$$
con $T_s=216.5K$
$$P(h)=
\begin{cases}
P(h) = P_0 (1+\dfrac{\lambda h}{T_0})^\dfrac{-g}{R\lambda} \ | \ h<h_s\\
P(h) = P_s*e^{\dfrac{-g}{RT_s}(h-h_s)} \ | \ h>h_s
\end{cases}$$
\
la quota $h$ è misurata tramite differenziale di pressione rispetto a questi riferimenti
| Acronimo | Riferimento | Utilizzo |
| ----------- | ----------- | ----- |
| $QNH$ | pressione al livello del mare locale | volo a bassa quota o manovre terminali |
| $QNE$ | pressione standard $P_0$ | separazione tra varie rotte in crociera |
| $QFE$ | lettura pressione aeroporto | atterraggio (in parziale disuso)|
"""
# ╔═╡ 3ea80b56-a7c7-4dd1-aae3-e240e0042145
md"""
# Richiami di cinematica
"""
# ╔═╡ 8e429280-d45f-4aaa-8db6-bb865822def4
md"""
con $\bar r$ si indica il vettore posizione in un generico sistema di riferimento questo è in funzione del tempo come variabile indipendente
"""
# ╔═╡ ce9842db-1d24-43dc-8d23-6964719c80a2
md"""
quindi la velocità e l'accellerazione possono essere scritte come:
$$
\begin{cases}
\bar r(t) = posizione\\
\dot{\bar r}(t) = velocità\\
\ddot{\bar r}(t) = accellerazione\\
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ e4f7b60f-7c55-462c-9ced-da14638b66ae
md"""
anzichè usare il tempo come variabile possiamo usare l' ascissa curvilinea, $S$, ossia lo spostamento del punto $P$ lungo la sua traiettoria
"""
# ╔═╡ c1e6d919-f3c6-4ae0-ad6c-eb6e22b82d3d
md"tempo: $(@bind time1 Slider(0:0.01:10, default=5,show_value=true)) s"
# ╔═╡ f66827da-440b-4b91-a085-063a9bcfad57
let
x_coords,y_coords=traiettoria_parametrica_2d(time1)
plot(x_coords, y_coords, label=L"S", xlabel="x(t)", ylabel="y(t)", title="Traiettoria Parametrica",xlim=[0,10],ylim=[-1,1],legendfont=font(14),legend=:topright)
plot!( [0, x_coords[end]], [0, y_coords[end]], arrow=true, color=:red, label=L"\bar r")
end
# ╔═╡ 659b9467-0144-4aa5-ba2e-ff76182ee87b
md"""
per esempio, nel caso di un aeromobile in 3 dimensioni si avrà:
"""
# ╔═╡ b79ae4e0-96fb-478e-8fc8-3316c6e394ce
md"tempo: $(@bind time2 Slider(0:0.01:10, default=5,show_value=true)) s"
# ╔═╡ c1fc80bc-c3aa-4f2e-bc53-6cb770964a87
let
x_coords,y_coords,z_coords=traiettoria_parametrica_3d(time2)
p = plot(x_coords, y_coords, z_coords, label=L"S",legendfont=font(14),legend=:topright)
plot!( [0, x_coords[end]], [0, y_coords[end]],[0, z_coords[end]], arrow=true, color=:red, label=L"\bar r",xlims=[-1,1],ylims=[-1,1],zlims=[0,10])
end
# ╔═╡ c339e1dd-5889-46c7-874b-e6cc048a39bc
md"""
## Terna intrinseca di Frenet
"""
# ╔═╡ 69e84cbe-b7e4-48c5-a819-3f471f4d091c
md"""
la terna di Frenet è composta da tre versori:
**versore tangente:**
$\hat e_t = \bar r'(S)$
la distanza perscorsa sarà:
$\Delta S = \int_{S0}^{S1} dS = \int_{t0}^{t1} \dot {\bar r}(t)dt$
quindi lo spostamento infinitesimo
$dS= \dfrac{|d \bar r|}{|d t|}*dt$
$dS= |d \bar r|$
$\dfrac{dS}{|d \bar r|}=1$
quindi
$\dfrac{d\bar r}{d S}=\bar r'(S)$
**versore normale:**
$\hat e_n = R*\bar r''(S)$
Dove $R$ è il raggio di curvatura
$R=\dfrac{1}{|\bar r''(S)|}$
**versore binormale:**
$\hat e_b = \hat e_t \wedge \hat e_n$
"""
# ╔═╡ bc13b7b3-7fc4-4007-9025-2597005fa63a
md"S: $(@bind S1 Slider(0:0.01:10, default=5,show_value=true))"
# ╔═╡ 52942653-05c3-4eaa-bf3e-f594a089bd1c
let
x_coords,y_coords,x0,y0,tx,ty,nx,ny=traiettoria_parametrica_2d(S1)
# Plot the trajectory and vectors
p = plot(x_coords, y_coords, label=L"S", xlabel="x(S)", ylabel="y(S)", xlims=[0,10], ylims=[-2,2], title="Traiettoria Parametrica",aspect_ratio=:equal,legendfont=font(14),legend=:topright)
plot!(p, [0, x_coords[end]], [0, y_coords[end]], arrow=true, color=:red, label=L"\bar r")
plot!(p, [x0, x0+tx], [y0, y0+ty], arrow=true, color=:blue, label=L"\hat e_t")
plot!(p, [x0, x0+nx], [y0, y0+ny], arrow=true, color=:green, label=L"\hat e_n")
end
# ╔═╡ 5890b370-d1b9-4372-b429-e2d902a98085
md"""
### Velocità e accellerazione
\
**Velocità:** $\dot{\bar r} =\dot S*\hat e_t$
$\dot{\bar r} = \dfrac{d \bar r}{dt} = \dfrac{d \bar r(S)}{dS} * \dfrac{dS}{dt} = \bar r'(S)* \dot S(t)=\dot S * \bar r' = \dot S*\hat e_t$
la veocità è sempre tangente alla traiettoria
\
\
\
**Accellerazione:** $\ddot{\bar r} =\ddot S*\hat e_t+\dfrac{\dot S^2}{R}*\hat e_n$
dove $\ddot S*\hat e_t$ è la componente tangenziale e $\dfrac{\dot S^2}{R}*\hat e_n$ la componente normale dell'accellerazione.
$\omega = \dfrac{\dot S}{R}$ è la velocità angolare
"""
# ╔═╡ cfb0dd04-abd4-497d-8ed6-1c5e6c3a0ee4
md"""
# Sistemi di riferimento
"""
# ╔═╡ 45661987-c61e-4864-97a6-ac0ac6010d39
md"""
## Quota di volo
Distanza verticale tra velivolo e la superficie terrestre, può essere indicata come:
- Quota assoluta, **absolute altitude:** $AA$ misurata rispetto alla topografia del terreno è utile per voli a bassa quota
- Quota vera, **true altitude** $TA$ misurata rispetto al livello medio del mare è utile per confrontare la distanza verticale tra velivoli in volo
"""
# ╔═╡ 82e5b6b0-def9-46ce-9e1e-8bf25a54b24e
md"S: $(@bind S2 Slider(0:0.01:7, default=5,show_value=true))"
# ╔═╡ a679ab80-4fbb-4e10-845a-bb9ca338bc69
Quota_di_volo(S2)
# ╔═╡ 041459bb-0fad-4ed5-87f9-0c873ae7cfaa
md"""
## Fixed Earth frame $F_E$
chiamato anche navigational frame. è solidale alla Terra e inerziale.
fornisce una buona approssimazione per voli a bassa quota e di breve raggio.
Si può usare come origine la posizione definita da latitudine e longitudine.
Il piano di volo è tangente alla terra nella posizione.
la terna è così definita:
$$F_E=
\begin{cases}
\hat x_E, \hat y_E = versori \ piano\\
\hat z_E = normale \ al \ piano \ e \ discorde \ rispetto\ \bar g\\
origine = p(latitudine,longitudine)
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ bb575fbf-c996-4557-8b08-cc28db9c0db4
md"longitudine: $(@bind longitude Slider(-pi/2:0.1:2*pi-pi/2, default=-pi/4))"
# ╔═╡ 7df38388-286b-4767-8bc6-e56cfdb1f656
md"latitudine: $(@bind latitude Slider(-pi/2:0.1:pi/2, default=0))"
# ╔═╡ 8934ba0d-dbf5-4ef7-9733-530dcd42ef05
md"""
### Velocità al suolo in $F_E$
"""
# ╔═╡ 9ab15e4e-75d8-4fdf-ad53-8dfde7615a95
md"""
Spesso durante il volo la velocità rispetto al suolo **ground speed:** $\bar v_{GS}$ non coincide con la velocità con cui l'aereo viaggia nell'aria. Questo avviene perchè può esserci del vento e quindi l'aria stessa può avere una velocità **wind speed:** $\bar v_W$ rispetto al terreno. Ciò comporta la possibilità di definire anche una velocita di volo rispetto al vento **air speed:** $\bar v_{AS}$
per trovare la $\bar v_{GS}$ che in $F_E$ corrisponde a $\dot{\bar r}_E$ ossia la derivata nel tempo del vettore posizione nel sistema $F_E$ basta quindi fare $\bar v_{GS}=\bar v_{AS}+\bar v_{W}$
la velocità in contesto areonautico è spesso misurata in nodi $Kn$ che sono definiti come miglia nautiche all'ora $\dfrac{mn}{h}$ con $1mn=1852m$
"""
# ╔═╡ 90e78e30-90f6-48cd-b699-3493cd662713
md"rotazione aereo: $(@bind rotazione1 Slider(0:0.01:2*pi, default=pi/2))"
# ╔═╡ 4ed72bd1-6fea-4a90-ae20-b23300f63085
md"velocità al suolo: $(@bind Vgs Slider(0:0.01:0.5, default=0.25))"
# ╔═╡ d3e9ee9d-fcdc-4eab-908a-19301fe18a0a
md"""
## Horizon frame $F_H$
"""
# ╔═╡ f053e0cb-ea7d-43a7-97cf-a90d7d6fa3d4
md"""
Anche chiamato NED (North,East,Down) o "terrestre mobile". Questo sistema di riferimento ha come origine un punto materiale sul velivolo, per esempio il suo baricentro (center of gravity) $CG$. Con $H$ indichiamo il piano dell'orizzonte.
la terna è così definita:
$$F_H=
\begin{cases}
\hat x_H = Nord\\
\hat y_H = East\\
\hat z_H = normale \ a \ H \ e \ concorde \ a\ \bar g\\
origine = CG \ velivolo
\end{cases}$$
da notare che la terna è indipendente rispetto all'asetto di volo in quanto definita rispetto alla terra
"""
# ╔═╡ 890cbbea-f86c-46da-b375-fd2a54dcd653
md"rotazione aereo: $(@bind rotazione_2 Slider(0:0.01:2*pi, default=2*pi/3))"
# ╔═╡ ed65d686-ebaf-4cf4-a779-0283fd36583c
md"""
### Angoli di traiettoria
Definiscono il moto del velivolo rispetto alla Terra
- **Angolo di rampa:**
$\gamma=-sin^{-1}(\dfrac{\bar v*\hat z_H}{|\bar v|}) =-sin^{-1}(\hat e_t*\hat z_H)$
- **Angolo di rotta:**
$\chi=tan^{-1}(\dfrac{\bar v*\hat y_H}{\bar v* \hat x_H})= tan^{-1}(\dfrac{\hat e_t*\hat y_H}{\hat e_t*\hat x_H})$
"""
# ╔═╡ 9350c9d1-f4cd-4633-8513-50ac1a9311ef
md"angolo di rampa $\gamma$: $(@bind gamma1 Slider(-360:1:360, default=20, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 31437c3c-a21a-4301-9efd-de00c86a0e2e
md"angolo di rotta $\chi$: $(@bind chi1 Slider(-360:1:360, default=55,show_value=true)) °"
# ╔═╡ f1b15f3f-60a4-4605-953b-f4393a2de8a2
md" modulo della velocità $v$: $(@bind vh1 Slider(0:0.01:1, default=1,show_value=true))"
# ╔═╡ d8c80578-7c6a-41f6-ab49-e33ee4fbdd9b
let
# frame of reference
plot(
title="Angoli di traiettoria",
showaxis=false,
legendfont=font(12),
xlim=[-1,1],
ylim=[-1,1],
zlim=[-1,1],
legend=:topleft)
plot!([0,1],[0,0],[0,0],c=:green, lab=L"\hat y_H",lw=2)
plot!([0,0],[0,1],[0,0],c=:red, lab=L"\hat x_H",lw=2)
plot!([0,0],[0,0],[0,-1],c=:blue, lab=L"\hat z_H",lw=2)
# define velocity as function of gamma and chi
v = vh1*[cosd(gamma1)*cosd(chi1),cosd(gamma1)*sind(chi1),sind(gamma1)]
# plane projections
# z_h
plot!([v[2],v[2]],[v[1],v[1]],[v[3],0],c=:orange, lab="",lw=1,l=:dash)
# y_h
plot!([v[2],v[2]],[0,v[1]],[0,0],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# x_h
plot!([0,v[2]],[v[1],v[1]],[0,0],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# piano x_h,y_h
plot!([0,v[2]],[0,v[1]],[0,0],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# angles
# chi
chi_x,chi_y,chi_z = harc3d(sqrt(v[2]^2+v[1]^2),pi/2,pi/2-deg2rad(chi1),40,0)
plot!(chi_x, chi_y, chi_z, lw=3, c=:cyan,lab=L"\chi")
# gamma
gamma_x,gamma_y,gamma_z = varc3d(sqrt(v[2]^2+v[1]^2),pi/2,pi/2-deg2rad(gamma1),40,pi/2-deg2rad(chi1))
plot!(gamma_x, gamma_y, gamma_z, lw=3, c=:orange,lab=L"\gamma")
# velocity vector
plot!([0,v[2]],[0,v[1]],[0,v[3]],c=:purple, lab=L"\bar v",lw=2)
end
# ╔═╡ 49f7985f-e7f4-4cae-bbe3-c1821489c76c
md"""
### Velocità in $F_H$
La $\bar v$ può essere scomposta nelle velocità lungo i tre versori che definiscono la base del sistema $F_H$ possono essere così definite:
- velocità verticale:
$v_v= |\bar v|*sin(\gamma)$
- velocità sul piano $H$:
$v_H=|\bar v|*cos(\gamma)$
- velocità verso Nord:
$v_{NH}=v_H*cos(\chi)$
- velocità verso Est:
$v_{EH}=v_H*sin(\chi)$
"""
# ╔═╡ 42038324-7780-4b84-a0de-2f36cf30212b
md"angolo di rampa $\gamma$: $(@bind gamma2 Slider(-360:1:360, default=35, show_value=true)) °"
# ╔═╡ d6ef6fcb-ee92-4d71-a0b4-5d25befaa16f
md"angolo di rotta $\chi$: $(@bind chi2 Slider(-360:1:360, default=55,show_value=true)) °"
# ╔═╡ 8c312483-ec4d-4c1d-a88a-626f7715928a
let
vh2 = 1
g = deg2rad(gamma2)
c = deg2rad(chi2)
# speeds
vH=vh2*cos(g)
vv=vh2*sin(g)
vNH=vH*sin(c)
vEH=vH*cos(c)
# climb rate speed
pg = plot(aspect_ratio=:equal, xlims=(-1, 1), ylims=(-1, 1),showaxis=false,legendfont=font(12),legend=:topleft)
# N
pg = plot!([-0.05,0.05],[-0.05,0.05], c=:red,label=L"\hat x_H",linewidth=3)
pg = plot!([0.05,-0.05],[-0.05,0.05], c=:red,label="",linewidth=3)
# E
pg = plot!([0, 1], [0, 0], arrow=true, color=:green, label=L"\hat y_H",linewidth=2)
# D
pg = plot!([0, 0], [0, -1], arrow=true, color=:blue, label=L"\hat z_H",linewidth=2)
# v
pg = plot!([0, vH], [0, vv], arrow=true, color=:purple, label=L"\bar v",linewidth=2)
# vv
pg = plot!([vH, vH], [0, vv], arrow=true, color=:coral, label=L"v_v",linewidth=2)
# vH
pg = plot!([0, vH], [0, 0], arrow=true, color=:brown, label=L"v_H",linewidth=2)
# speed on plane,N,E
pc = plot(aspect_ratio=:equal, xlims=(-1, 1), ylims=(-1, 1),showaxis=false,legendfont=font(12),legend=:topleft)
# N
pc = plot!([0, 0], [0, 1], arrow=true, color=:red, label=L"\hat x_H",linewidth=2)
# E
pc = plot!([0, 1], [0, 0], arrow=true, color=:green, label=L"\hat y_H",linewidth=2)
# D
pc=plot!([-0.05,0.05],[-0.05,0.05], c=:blue,label=L"\hat z_H",linewidth=3)
pc=plot!([0.05,-0.05],[-0.05,0.05], c=:blue,label="",linewidth=3)
# vH
pc = plot!([0, vEH], [0, vNH], arrow=true, color=:brown, label=L"v_H",linewidth=2)
# vN
pc = plot!([0, 0], [0, vNH], arrow=true, color=:yellow, label=L"v_N",linewidth=3)
# vH
pc = plot!([0, vEH], [0, 0], arrow=true, color=:lime, label=L"v_E",linewidth=2)
plot(pg, pc, layout = (1, 2))
end
# ╔═╡ 46d626ec-d721-468e-9129-7ae9334d7c05
md"""
possiamo riscrivere la velocità $\bar v$ sulla nuova base $F_H$ partendo dai vettori velocità:
$\bar v_v= -|\bar v|*sin(\gamma)*\hat z_H$
$v_H=|\bar v|*cos(\gamma)$
$\bar v_{NH}=v_H*cos(\chi)*\hat x_H=|\bar v|*cos(\gamma)*cos(\chi)*\hat x_H$
$\bar v_{EH}=v_H*cos(\chi)*\hat y_H=|\bar v|*cos(\gamma)*sin(\chi)*\hat y_H$
$\bar v_{F_H}=\bar v_{NH}+\bar v_{EH}+\bar v_v$
$\downarrow$
$\bar v_{F_H}=|\bar v|*(cos(\gamma)*sin(\chi)*\hat x_H+cos(\gamma)*cos(\chi)*\hat y_H-sin(\gamma)*\hat z_H)$
$\downarrow$
$\bar v_{F_H}=|\bar v|*\begin{bmatrix} cos(\gamma)*cos(\chi)\\\ cos(\gamma)*sin(\chi) \\\ -sin(\gamma) \end{bmatrix}$
"""
# ╔═╡ 0635e8b7-1ebc-4a28-94fc-da0796146b4e
md"""
Da cui possiamo definire la velocità angolare $\omega_{F_H}$:
$\omega_{F_H}=\sqrt{\dot \gamma^2+\dot \chi^2*cos^2(\gamma)}$
"""
# ╔═╡ 05ec308d-c9f9-4c17-b15d-ada5d0a64b89
md"""
## Body frame $F_B$
"""
# ╔═╡ 1c754b21-6a19-4752-9ec4-8e4bd37b73a0
md"""
Il sistema $F_B$ è solidale al velivolo, l'orgine si trova su un punto materiale, spesso conviene usare $CG$
la terna è così definita:
$$F_B=
\begin{cases}
\hat x_B = verso \ la \ prua \ (asse \ rollio \ |Roll|)\\
\hat y_B = verso \ ala \ destra \ (asse \ beccheggio \ |Pitch|)\\
\hat z_B = verso \ il \ ventre \ (asse \ imbardata \ |Yaw|)\\
origine = CG \ velivolo
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 94c96468-411c-4e01-b2f1-88cff2b6169c
md"""
viene definito piano simmetrico materiale il piano generato da $\hat x_B\hat z_B$ lo indichiamo con $PSM$
"""
# ╔═╡ e8bbcc41-02b6-43d7-b842-21ddfa92b49b
md"""
### Angoli di assetto
Definiscono l'orientamento del velivolo rispetto a $F_H$
- **Angolo di imbardata (Heading) :**
$\psi=tan^{-1}(\dfrac{\hat x_B*\hat y_H}{\hat x_B*\hat x_H})$
- **Angolo di beccheggio (Pitch) :**
$\theta=-sin^{-1}(\hat x_B*\hat z_H)$
- **Angolo di rollio (Roll) :**
$\phi=sin^{-1}(\hat y_B*\hat z_H)$
Attenzione $\gamma \neq \ \theta$ perchè $\theta$ a diffrenza di $\gamma$ non dipende da $\bar v$ stesso vale per $\psi$ e $\chi$ come si può vedere qui sotto $\chi$ è rispetto al $\bar v_H$ metre $\psi$ rispetto a $\hat x_B$ vedremo più avanti che esiste un angolo chiamato **Angolo di deriva:** $\beta=\chi-\psi$ e solo se $\beta=0\rightarrow\chi=\psi$
"""
# ╔═╡ 4f1f40e4-0d53-41dd-a8bc-93c69a3e0c1b
md"angolo di imbardata $\psi$: $(@bind psi1 Slider(-360:1:360, default=35, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 140eb5fe-d3c7-4c0e-bc2d-b7e377a953d5
md"angolo di beccheggio $\theta$: $(@bind theta1 Slider(-360:1:360, default=35, show_value=true)) °\
definito positivo a cabrare"
# ╔═╡ 0a9510c2-7b71-44d5-8223-9d398890a53b
md"angolo di rollio $\phi$: $(@bind phi1 Slider(-360:1:360, default=15, show_value=true)) °"
# ╔═╡ c53bc007-1f1e-41e7-a9c3-c71a0d6c63c1
md"""
### Angoli aereodinamici
Definiscono l'orientamento del velivolo rispetto al vento
- **Angolo di deriva (Side slip):**
$\beta=sin^{-1}(\dfrac{\bar v * \hat y_B}{|\bar v|})$
- **Angolo di incidenza (Attack angle):**
$\alpha=tan^{-1}(\dfrac{\bar v * \hat z_B}{\bar v*\hat x_B})$
Quindi $\beta$ è l'angolo tra $\bar v_{AS}$ e il $PSM$ mentre $\alpha$ è l'angolo tra la proiezione di $\bar v_{AS}$ su $PSM$ e $\hat x_B$
"""
# ╔═╡ afe62312-eff7-4c8d-8f9b-03b4a94eac40
md"angolo di deriva $\beta$: $(@bind beta1 Slider(-45:1:45, default=15, show_value=true)) °"
# ╔═╡ c55079d2-0bf7-4094-bcf8-8de86d0d001a
md"angolo di deriva $\beta$: $(@bind beta2 Slider(-45:1:45, default=35, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 93b9b3a4-9493-4085-a73e-9b8c4be45b96
md"angolo di incidenza $\alpha$: $(@bind alpha2 Slider(-45:1:45, default=20, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 69424d76-9aa9-4be2-8e90-514824645980
let
a = deg2rad(alpha2)
b = deg2rad(beta2)
vh1 = 1
# frame of reference
plot(
title="Angoli aerodinamici",
showaxis=false,
legendfont=font(12),
xlim=[-1,1],
ylim=[-1,1],
zlim=[-1,1],
legend=:topleft)
# body axis
plot!([0,1],[0,0],[0,0],c=:green, lab=L"\hat y_B",lw=2)
plot!([0,0],[0,1],[0,0],c=:red, lab=L"\hat x_B",lw=2)
plot!([0,0],[0,0],[0,-1],c=:blue, lab=L"\hat z_B",lw=2)
# define velocity as function of beta and alpha
v = vh1*[cos(a)*cos(b),sin(b),cos(b)*sin(a)]
# plane projections
# z_B
plot!([v[2],v[2]],[v[1],v[1]],[0,v[3]],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# x_By_B
plot!([0,v[2]],[0,v[1]],[0,0],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# x_B,z_B
plot!([0,v[2]],[v[1],v[1]],[v[3],v[3]],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# piano x_B,z_B
plot!([0,0],[0,cos(a)],[0,sin(a)],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# v su piano x_B,z_B
plot!([0,0],[0,v[1]],[0,v[3]],c=:brown, lab=L"\bar v_{PSM}",lw=2)
# angles
# beta
b_x,b_y,b_z = arc3d(a,0,0,1,pi/2,pi/2-b)
plot!(b_x, b_y, b_z, lw=3, c=:purple2,lab=L"\beta")
# alpha
a_x,a_y,a_z = varc3d(1,pi/2,pi/2-a,40,pi/2)
plot!(a_x, a_y, a_z, lw=3, c=:orange3,lab=L"\alpha")
# velocity vector
plot!([0,v[2]],[0,v[1]],[0,v[3]],c=:purple, lab=L"\bar v_{AS}",lw=2)
end
# ╔═╡ 65b12662-2f8f-4bea-aadf-d7791eb24ecd
md"""
### Velocità all'aria
La $\bar v_{AS}$ può essere scomposta nelle velocità lungo i tre versori chedefiniscono la base del sistema $F_B$ usando gli angoli aerodinamici:
$$\bar v_{F_B}=
\begin{cases}
\bar v_{AS}*\hat y_B = | \bar v_{AS}|*sin(\beta)\\
\bar v_{PSM} = | \bar v_{AS}|*cos(\beta)
\end{cases}$$
$\downarrow$
$$\bar v_{F_B}=
\begin{cases}
\bar v_{\hat x_B} = | \bar v_{AS}|*sin(\beta)*cos(\alpha) \\
\bar v_{\hat y_B} = | \bar v_{AS}|*sin(\beta) \\
\bar v_{\hat z_B} = | \bar v_{AS}|*cos(\beta)*sin(\alpha)
\end{cases}$$
\
Possiamo ora fare un paio di ipotesi nel caso degli aerei:
$$\begin{cases}
v_{\hat z_B}>>v_{\hat y_B} \ altrimenti \ moto \ laterale \\
v_{\hat x_B}>>v_{\hat z_B} \ altrimenti \ stallo
\end{cases}$$
$\downarrow$
$\bar v_{F_B} \approx \hat x_B \rightarrow \beta\approx\dfrac{v_{\hat y_B}}{|\bar v_{AS}|},\alpha\approx\dfrac{v_{\hat z_B}}{|\bar v_{AS}|}$
queste approssimazioni sono valide per $\alpha, \beta$ piccoli
"""
# ╔═╡ 86118dd3-99f7-4470-b9c1-ab5c8be001c3
md"""
## Aerodynamic frame $F_A$
Il sistema $F_A$ è usato per calcolare le forzanti aereodinamiche, l'orgine si trova in $CG$, viene definito a partire da $F_B$ tramite 2 rotazioni consecutive. La prima rotazione è di $-\alpha$ attorno a $\hat y_B$ che ci porta allo Stability Frame $F_S$ la seconda è di $\beta$ attorno a $\hat z_S$ che ci porta a $F_A$
la terna è così definita:
$$F_A=
\begin{cases}
\hat x_A = verso \ la \ \bar v_{AS}\\
\hat y_A = \hat x_B \wedge \hat z_A\\
\hat z_A = su \ PSM \ e \ normale \ a \ \hat x_A\\
origine = CG \ velivolo
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 454992df-7cf2-439f-97a3-f47df6d4ce14
md"angolo $\alpha_{F_S}$: $(@bind asfi Slider(-45:1:45, default=0, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 47e28d45-2a52-4a78-9970-efd6436a377e
md"angolo $\beta_{F_S}$: $(@bind bsfi Slider(-45:1:45, default=0, show_value=true)) °"
# ╔═╡ 8c7a0753-17f0-41e8-8349-28c2d309cade
let
a = deg2rad(14)
b = deg2rad(27)
asf = deg2rad(asfi)
bsf = deg2rad(bsfi)
vh1 = 1
# frame of reference
plot(
title=L"Prova \ ad \ allineare \ F_A",
showaxis=false,
legendfont=font(12),
xlim=[-1,1],
ylim=[-1,1],
zlim=[-1,1],
legend=:topleft)
# body axis
plot!([0,1],[0,0],[0,0],c=:green, lab=L"\hat y_B",lw=1,l=:dot)
plot!([0,0],[0,1],[0,0],c=:red, lab=L"\hat x_B",lw=1,l=:dot)
plot!([0,0],[0,0],[0,-1],c=:blue, lab=L"\hat z_B",lw=1,l=:dot)
# body axis
plot!([0,cos(bsf)],[0,-cos(asf)*sin(bsf)],[0,-sin(asf)*sin(bsf)],c=:green, lab=L"\hat y_S",lw=3)
plot!([0,sin(bsf)],[0,cos(asf)*cos(bsf)],[0,sin(asf)*cos(bsf)],c=:red, lab=L"\hat x_S",lw=3)
plot!([0,0],[0,sin(asf)],[0,-cos(asf)],c=:blue, lab=L"\hat z_S",lw=3)
# define velocity as function of beta and alpha
v = vh1*[cos(a)*cos(b),sin(b),cos(b)*sin(a)]
# plane projections
# z_B
plot!([v[2],v[2]],[v[1],v[1]],[0,v[3]],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# x_By_B
plot!([0,v[2]],[0,v[1]],[0,0],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# x_B,z_B
plot!([0,v[2]],[v[1],v[1]],[v[3],v[3]],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# piano x_B,z_B
plot!([0,0],[0,cos(a)],[0,sin(a)],c=:grey, lab="",lw=1,l=:dash)
# v su piano x_B,z_B
plot!([0,0],[0,v[1]],[0,v[3]],c=:brown, lab=L"\bar v_{PSM}",lw=1)
# angles
# beta
b_x,b_y,b_z = arc3d(a,0,0,1,pi/2,pi/2-b)
plot!(b_x, b_y, b_z, lw=1, c=:purple2,lab=L"\beta=27^°")
# alpha
a_x,a_y,a_z = varc3d(1,pi/2,pi/2-a,40,pi/2)
plot!(a_x, a_y, a_z, lw=1, c=:orange3,lab=L"\alpha=14^°")
# velocity vector
plot!([0,v[2]],[0,v[1]],[0,v[3]],c=:purple, lab=L"\bar v_{AS}",lw=1)
end
# ╔═╡ 4b0d29d1-43e3-4db7-a797-0ca2e08a51c0
md"""
# Classificazione dei regimi di volo
## Tipologie di volo comuni
- Uniforme:
$|\dot{\bar v}|=0 \rightarrow |\bar v|=cost$
- Rettilineo:
$R=\infty\rightarrow \omega=0 \rightarrow \dot\chi,\dot\gamma=0$
- Orizzontale:
$$\begin{cases}
\gamma=0 \\
\gamma>0 \ salita \\
\gamma<0 \ discesa
\end{cases}$$
- Nel piano verticale:
$\dot\chi=0\rightarrow
\omega = \dot\gamma$
- Simmetrico:
$\beta=0\rightarrow\bar v_{AS}\in PSM$
con $PSM$ che è il piano di simmetria
- Livellato:
$\phi=0$
- Simmetrico nel piano orizzontale:
$$\begin{cases}
\beta=0 \\
\gamma=0 \\
\omega=\dot\chi
\end{cases}$$
- Orizzontale rettilineo unifrome ($VORU$):
$$\begin{cases}
|\dot{\bar v}|=0 \\
R=\infty \\
\gamma=0
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ dc250eda-e9d9-437d-b549-2992973d9cf1
md"""
## Manovre curvilinee
- Richiamata (Pull-up):
$\dot\gamma>0$
- Affondata (Dive)
$\dot\gamma<0$
- Virata positiva, verso destra (Right turn):
$\dot\chi>0$
- Virata negativa, verso sinistra (Left turn):
$\dot\chi<0$
"""
# ╔═╡ ba58fd28-983b-4688-bd7c-14512fe63402
md" $\dot\gamma$: $(@bind dgamma1 Slider(-4:0.1:4, default=2, show_value=true)) °/s"
# ╔═╡ ebcb05ec-541e-40c5-9438-e5db68747541
md" $\dot\chi$: $(@bind dchi1 Slider(-4:0.1:4, default=2, show_value=true)) °/s"
# ╔═╡ a765006c-29fb-47cc-801e-d9cf62952091
md"""
# Elementi di Aereodinamica
## Equazioni cardinali
Notazione:
- Quantità di moto e momento di qdm: $\bar Q$ , $\bar H$
- Forze e momenti aereodinamici: $\bar F$ , $\bar M$
- Forze e momenti dovuti alla propulsione: $\bar T$ , $\bar \Gamma$
- Forze e momenti dovuti al peso: $\bar W$ , $\bar\Sigma$
$$\begin{cases}
\dfrac{d\bar Q}{dt}=\bar F+\bar T+\bar W \\
\dfrac{d\bar H_P}{dt}=\bar M_P+\bar\Gamma_P+\bar\Sigma_P
\end{cases}$$
Il bilancio tramite le equazioni cardinali può essere svolto su un generico punto $P$, tuttavia se si utilizza il centro di gravità $CG\rightarrow \bar\Sigma_G=0$
$$\begin{cases}
\dot{\bar Q}=\bar F+\bar T+\bar W \\
\dot{\bar H_G}=\bar M_G+\bar\Gamma_G
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 18a37d1e-2ce2-4710-b429-788c559c31c3
md"""
## Forza aerodinamica
Un corpo immerso in un fluido subisce delle forze dovute a attriti viscosi e differenze di pressioni esercitate sulla superficie dello stesso. Queste possono generare momenti. Possiamo ricavarle facendo l'integrale chiuso sulla superficie del corpo per il contributo degli sforzi.
Con $\bar\tau$ indichiamo il tensore degli sforzi, con $P_0$ il punto di riduzione dei momenti, $Q$ è una posizione variabile all'interno del corpo, $\bar n$ il versore normale alla superficie e $\mu$ la viscosità del fluido
- Forza aerodinamica:
$\bar F=\oint{\bar\tau \ dS}$
- Momento rispetto al punto $P_0$:
$\bar M=\oint {\bar\tau \wedge(P-Q)*dS}$
Dalle equazioni di Navier Stokes
$\bar\tau = -P\bar n -\dfrac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\bar v)\bar n + 2\mu(\nabla\cdot\bar v)^T\bar n$
Ricaviamo un legame funzionale tra $\bar \tau$ e le grandezze che lo influenzano
$\bar\tau=\bar\tau(P,\bar v,\mu,\bar n)$
Possiamo ora passare al' **espressione funzionale della forza aerodinamica** $\bar F$
$\bar F = \bar F(P,\bar V,\mu,\bar n,S)$
dove $P,\bar V$ sono i valori della pressione e velocità locale e S la superficie, tuttavia sotto le nostre ipotesi di lavoro possiamo riscriverla in funzione dei valori del flusso indisturbato riducendo il numero di variabili:
Usando la legge dei gas perfetti $P=\rho*R*T$
$\bar F = \bar F(\rho_\infty,T_\infty,\mu_\infty,\bar V_\infty,\bar n,S)$
Usiamo ora la velocità del suono in un fluido $a=\sqrt{\rho RT}$
$\bar F = \bar F(\rho_\infty,a_\infty,\mu_\infty,\bar V_\infty,\bar n,S)$
Riscriviamo $\bar V_\infty$ con $F_A$ $\rightarrow \bar V_\infty=f(|\bar v_{AS}|,\alpha,\beta)$
$\bar F = \bar F(\rho_\infty,a_\infty,\mu_\infty,|\bar v_{AS}|,\alpha,\beta,\bar n,S)$
Quest'ultima è l' **Espressione funzionale della forza aerodinamica**
"""
# ╔═╡ 229ffa9f-145b-4fe1-b063-0ffb598bb918
md"""
## Teorema di Buckingham $(\pi)$
Ogni equazione fisica dipendente da $n$ variabili fisiche $[q_i]$ esprimibili intermini di K quantità fisiche fondamentali è rappresentabile come funzione di $n-K$
variabili adimensionali $\Pi_j$ costruite moltiplicando tra loro combinazioni delle
variabili fisiche originali
Vediamo ad esempio la forza aereodinamica:
- 5 variabili fisiche $\rightarrow \rho,|\bar v|,\mu,a,S$
- 3 grandezze fisiche fondamentali $L, M, T$ (lunghezza,massa,tempo)
variabili adimensionali $\Pi_j=5-3=2$
- Raccogliamo in $K$ i restanti parametri adimensionali $K=K(\alpha,\beta,forma)$
scriviamo la relazione
$|\bar F|=K*\rho^{e_\rho}*a^{e_a}*\mu^{e_\mu}*V^{e_V}*S^{e_S}$
facciamo l'analisi dimensionale
$[MLT^{-2}]=[ML^{-3}]^{e_\rho}[LT^{-1}]^{e_a}[ML^{-1}T^{-1}]^{e_\mu}[LT^{-1}]^{e_V}[L^2]^{e_S}$
uguagliamo gli esponenti di $M,L,T$ per ricavare un sistema di equazioni
$$\begin{cases}
[M]\rightarrow 1 = e_\rho + e_\mu\\
[L]\rightarrow -2 = -3 e_\rho + e_a - e_{\mu}+e_V+2e_S\\
[T]\rightarrow -2=-e_a-e_\mu-e_V\\
\end{cases}$$
abbiamo 3 equazioni e 5 incognite, il sistema è sottodeterminato possiamo scriverlo tramite combinazioni lineari di 2 variabili, secondarie, scegliamo come variabili secondarie $e_\mu,e_a$ e riscriviam il sistema
$$\begin{cases}
e_\rho = 1 - e_\mu\\
e_S = \dfrac{1}{2}(-2+3 e_\rho - e_a + e_{\mu}-e_V)\\
e_V=2-e_a-e_\mu\\
\end{cases}$$
$\downarrow$
$$\begin{cases}
e_\rho = 1 - e_\mu\\
e_S = 1-\dfrac{1}{2}e_\mu\\
e_V=2-e_a-e_\mu\\
\end{cases}$$
Riscriviamo $|\bar F|$ in funzione delle relazioni trovate
$|\bar F|=K*\rho^{1 - e_\mu}*a^{e_a}*\mu^{e_\mu}*V^{2-e_a-e_\mu}*S^{1-\dfrac{e_\mu}{2}}$
$\downarrow$
$|\bar F|=K \rho V^{2} S (\dfrac{a}{V})^{e_a} (\dfrac{\mu}{\rho V \sqrt{S}})^{e_\mu}$
Tra questi riconosciamo che $(\dfrac{\mu}{\rho V \sqrt{S}})$ è il numero di Reynolds invertito quindi $(\dfrac{\mu}{\rho V \sqrt{S}})=Re^{-1}$ mentre $\dfrac{a}{V}$ è il numero di Mach invertito quindi $Ma^{-1}=\dfrac{a}{V}$
Riscriviamo di nuovo $|\bar F|$ raccogliendo tutti i termini adimensionali in un unico coefficiente $C_F=C_F(\alpha,\beta,forma,Ma^{-e_a},Re^{-e_\mu})$
$|\bar F|=\dfrac{1}{2} \rho V^2 S C_F$
Questa è la formulazione tipica delle forze aerodinamiche quali lift e drag, che raccogliento i primi termini nella pressione dinamica $q_D$ diventa:
$|\bar F|=q_D S C_F$
La procedura è equivalente per i momenti aggiungendo $l$ lunghezza di riferimento si ottiene:
$|\bar M|=q_D l C_M$
Questa riscrittura è molto conveniente, avendo i due corpi di dimensioni diverse lo stesso $C_F,C_M$, è quindi sufficiente conoscere $q_D,S$ dell'areomobile vero per poter calcolare le forze che subirà in volo a partire dalle forze rilevate su un suo modello in galleria del vento
"""
# ╔═╡ 6a64478c-4a13-454e-a2fc-19e289638b44
md"""
## Definizioni per le forzanti aerodinamiche
Scomponiamo $\bar F$ e $\bar M_P$ rispetto ai sistemi di riferimento $F_A$ e $F_B$
- Scomposizione della forza aerodinamica $\bar F$ in $F_A$
$$\begin{cases}
D = -\hat x_A \cdot \bar F \rightarrow resistenza \rightarrow q_DSC_D=D
\\ Q = -\hat y_A \cdot \bar F \rightarrow devianza \rightarrow q_DSC_Q=Q
\\ L = -\hat z_A \cdot \bar F \rightarrow portanza \rightarrow q_DSC_L=L
\end{cases}$$
$\bar F= -(D\hat x_A+Q\hat y_A+L\hat z_A)=-q_DS(C_D\hat x_A+C_Q\hat y_A+C_L\hat z_A)$
- Scomposizione dei momenti aerodinamici $\bar M_P$ in $F_B$
$$\begin{cases}
\mathcal{L}_P= \hat x_B \cdot \bar M_P \rightarrow momento \ di \ rollio \rightarrow q_DSbC_{\mathcal{L}_P}=\mathcal{L}_P
\\ \mathcal{M}_P= \hat y_B \cdot \bar M_P \rightarrow momento \ di \ beccheggio \rightarrow q_DS\bar cC_{\mathcal{M}_P}=\mathcal{M}_P
\\ \mathcal{N}_P= \hat z_B \cdot \bar M_P \rightarrow momento \ di \ imbardata \rightarrow q_DSbC_{\mathcal{N}_P}=\mathcal{N}_P
\\(b = apertura \ alare)(\bar c = corda \ aerodinamica \ media)
\end{cases}$$
$\bar M_P=\mathcal{L}_P\hat x_B+\mathcal{M}_P\hat y_B+\mathcal{N}_P \hat z_B$
- Scomposizione su assi corpo $\bar F$ in $F_B$
$$\begin{cases}
X = \hat x_B \cdot \bar F \rightarrow longitudinale \rightarrow X \approx -D + L\alpha
\\ Y = \hat y_B \cdot \bar F \rightarrow trasversale \rightarrow Y \approx -Q
\\ Z = \hat z_B \cdot \bar F \rightarrow verticale \rightarrow Z \approx -L
\\ approssimazioni \ valide \ per \ \alpha,\beta<<1
\end{cases}$$
"""
# ╔═╡ 66ce96db-5d29-4761-b069-b885f224754b
md"""
## Analisi del profilo
"""
# ╔═╡ a1211f22-1f94-47fe-ae55-b5d06bb3000e
md"angolo di incidenza $\alpha$: $(@bind alpha3 Slider(-45:1:45, default=20, show_value=true)) °"
# ╔═╡ cb81651b-b845-4352-ac5b-6de837c81daa
md"""
$\begin{cases}
\bar F = -(L \hat x_A + D \hat z_A)\\
M = M_P \hat y_B\\
\end{cases}$
profili: