_.md

9. Logaritmické funkce a rovnice

Zavést logaritmickou funkci jako funkci inverzní k funkci exponenciální.
Zapsat předpis, zakreslit graf a popsat vlastnosti logaritmické funkce s ohledem na možné hodnoty základu.
Popsat a použít metody řešení exponenciálních a logaritmických rovnic a jednoduchých nerovnic.

Logaritmická funkce

Definice

• Předpis $f(x) : y = \log_a{x} + c$
  • $a \in R^+ \setminus{1}$
  • $c \in R$

Vlastnosti

• Logaritmus je exponent, na který musíme umocnit základ $a$, abychom získali argument $x$
  • $y = \log_a{x} \iff a^y = x$
• $D(f)= R^+; \ H(f) = R$
• Prostá, spojitá
• Prochází body $[1; \ 0]$ a $[a + c; \ 1]$
• Nemá maximum, minimum
  • $\text{infimum}(f) = -\infty$; $\text{supremum}(f) = \infty$
• Derivace: $(\log_ax)' = \frac{1}{x \cdot \ln a}$

Monotonie

• Když $a < 1$
  • Klesající funkce

• • Když $a > 1$
  • Rostoucí funkce

Vztah s exponenciální funkcí

• Jsou navzájem inverzní: $f: y = a^x, f^{-1}: y = \log_a{x} \implies \log_a{a^x} = x$
• Grafy jsou symetrické podle přímky $y = x$

Přirozený logaritmus

• $f(x): y = \log_e{x} = \ln{x}$
• Tečna v bodě $A = [0; 1]$ je $p: y = x +1$
• Definice limitou - $\ln{x} = \lim\limits_{n \to \infty} n \ (\sqrt[n]{x} - 1)$
• Derivace - $(\ln{x})'= \frac{1}{x}$

Logaritmická rovnice

• $\log_a{\ f(x)} = \log_b{\ g(x)}$
• $a = b \implies f(x) = g(x)$

Metody řešení

• Zexponenciálování
• Substituce

Vzorečky

• $\log_aa = 1 \quad log_a1 = 0$
• $\log_a (x^r) = r \cdot \log_ax$
• $\log_a(\sqrt[r]{x})= \frac 1 r \log_a(x)$
• $\log_axy = \log_ax + \log_ay$
• $\log_a \frac x y = \log_a x - \log_a y$
• $a^{\log_a x} = \log_a a^x = x$
• $\log_a x= \frac{1}{\log_x a}$
• $\log_a x = \frac{\log_n x}{\log_n a} = \frac{\ln x}{\ln a}$