_.md

8. Exponenciální funkce a rovnice

Definovat exponenciální funkci, zakreslit graf a stanovit vlastnosti funkce.
Řešit početně i graficky příslušné rovnice a nerovnice.
Ukázat spojitost s logaritmickou funkcí.

Exponenciální funkce

Definice

• Předpis $f(x) : y = a^x + c$
  • $a \in R^+ \setminus {1}$
  • $c \in R$

Vlastnosti

• $D(f) = R; \ H(f) = (c, \ \infty)$
• Prostá, spojitá
• Prochází body $[0; \ 1 + c]$ a $[1; \ a + c]$
• Nemá maximum, minimum
  • $\text{infimum}(f) = 0; \ \text{supremum}(f) = \infty$
• Derivace: $(a^x)' = \ln a \cdot a^x$

Monotonie

• Když $a < 1$
  • Klesající

• • Když $a>1$
    • Rostoucí

Přirozená exponenciální funkce

• $f(x):y = e^x$
• $a^x = e^{x \ln{a}}$
• Definice limitou - $e^x = \lim\limits_{n \to \infty} \Big( 1 + \frac x n \Big)^n$
• Sklon roven hodnotě funkce v bodě - $(e^x)' = e^x$

Vztah s logaritmickou funkcí

• Jsou navzájem inverzní: $f: y = a^x, \ f^{-1}: y = \log_a{x} \implies \log_a{a^x} = x$
• Grafy jsou symetrické podle přímky $y = x$

Exponenciální rovnice

• $a^{f(x)} = b^{g(x)}$
• Pokud $a = b \implies f(x) = g(x)$

Metody řešení

• Zlogaritmování
  • $\log{a}^{f(x)} = \log {b}^{g(x)} \implies f(x) \cdot \log a = g(x) \cdot \log b$
• Substituce
  • $a^{2x} + a^x + c = 0; \ a^x = y \implies y^2 + y + c = 0$

Vzorečky

• $a^{-x} = \frac {1}{ a^x}, a^x = \frac{1}{a^{-x}}$
• $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$
• $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$
• $(ab)^x = a^x b^x$
• $(a^x)^y = a^{xy}$
• $a^{\frac x y} = \sqrt[y]{a^x} = (\sqrt[y]a)^x$