_.md

3. Přímka a rovina

Definovat a znázornit vztahy mezi útvary v rovině (rovnoběžnost, kolmost a odchylka přímek, délka úsečky a velikost úhlu, vzdálenosti bodů a přímek).
Rozlišit možnosti vzájemné polohy bodů, přímek, přímky a roviny, rovin v prostoru; věty o kolmosti nebo rovnoběžnosti přímek a rovin; rozlišit různá analytická vyjádření rovnice přímky v rovině.
Zobrazit jednoduchá tělesa ve volném rovnoběžném promítání. Konstruovat rovinné řezy hranolu a jehlanu.

Přímka

Definice

• Někonečně tenká a dlouhá, nekonečně rovná křivka
• Bod a dvourozměrný vektor
• Dva různé body

Analytické vyjádření v rovině

Obecné

• $ax + by + c = 0$
  • $a, b, c \in R; a \ne 0 \lor b \ne 0$

Parametrické

• $x = b_x + t \cdot v_x \land y = b_y + t \cdot v_y$
  • $B = [b_x, \ b_y]$ - Bod "počátku" přímky
  • $\vec{v} = (v_x, \ v_y)$ - Směr přímky
  • $t \in R$ - Parametr

Směrnicové

• $y = tan(\varphi) \ x + q$
  • $\varphi$ - Orientovaný úhel v průsečíku přímky a první souřadnicové osy
  • $q \in R$

Ve vyšších rozměrech

• Existuje pouze parametrické vyjádření

Vzájemná poloha přímek

V rovině

• Rovnoběžky
  • Žádný společný bod
• Totožné
  • Speciální případ rovnoběžnosti
  • Nekonečně mnoho společných bodů
• Různoběžky
  • Různé směry
  • Protínají se v jednom bodě

V prostoru

• Rovnoběžné
  • Žádný společný bod
• Totožné
  • Speciální případ rovnoběžnosti
  • Nekonečně mnoho společných bodů
• Různoběžné
  • Leží v jedné rovině
  • Jeden společný bod
• Mimoběžné
  • Neleží v jedné rovině
  • Žádný společný bod

Odchylka přímek

• Definována pro 2 různoběžné přímky
• Úhel ($\varphi$), který přímky svírají
• Přímky (pokud ne sebe nejsou kolmé) svírají dva různě velké úhly $\implies$ za odchylku se považuje ten menší
• Lze spočítat jako odchylku vektorů příměk (viz skalární součin)

Rovina

Definice

• Nekonečná dokonale rovná plocha
• Bod a trojrozměrný vektor
• Přímka a bod ležící mimo tuto přímku
• Tři body

Analytické vyjádření v prostoru

Parametrické

• $x = b_x + t \cdot v_x \land y = b_y + t \cdot v_y \land z = b_z + t \cdot v_z$
  • $B = [b_x, \ b_y, \ b_z]$ - Bod "počátku" roviny
  • $\vec{v} = (v_x, \ v_y, \ v_z)$ - Směr roviny
  • $t \in R$ - Parametr

Obecné

• $ax + by + cz + d = 0$
  • $a, b, c, d \in R; a \ne 0 \lor b \ne 0 \lor c \ne 0$

Ve vyšších rozměrech

• Existuje pouze parametrické vyjádření

Vzájemná poloha rovin v prostoru

Dvou rovin

• Rovnoběžné
  • Žádný společný bod
• Totožné
  • Speciální případ rovnoběžnosti
  • Nekonečně mnoho společných bodů
• Různoběžné
  • Nekonečně mnoho společných bodů
  • Průsečíkem je přímka (průsečnice)

Tří rovin

• Rovnoběžné
  • Každé dvě jsou rovnoběžné, bez společného bodu
• Rovnoběžné
  • Dvě jsou rovnoběžné a třetí je protíná, vznik dvou průsečnic
• Různoběžné
  • Každá rovina je vůči ostatním různoběžná, vznik tří průsečnic
• Různoběžné
  • Každá rovina je různoběžná, vznik jedné průsečnice
  • Vznik tří průsečnic protínajících se v jednom bodě

Vzorečky

• Vzdálenost
  • Bodu $A = [a_1; \ a_2]$ od bodu $B = [b_1, b_2]$; $|A \ B| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}$
  • Bodu $A = [a_1; \ a_2]$ od přímky $p: ax + by + c = 0$; $|A \ p| = \frac{|a \cdot a_1 + b \cdot a_2 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
  • Bodu $A = [a_1; \ a_2; \ a_3]$ od roviny $\varrho: ax + by +cz + d = 0$; $|A \ \varrho| = \frac{|a \cdot a_1 + b \cdot a_2 + c \cdot a_3 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$
• Odchylka přímek, rovin...
  • $\vec{u} = (u_1; \ u_2; \ ... \ ; \ u_n)$, $\vec{v} = (v_1; \ v_2; \ ... \ ; \ v_n)$ - Normálové vektory přímek, nebo rovin...
  • $\cos(\omega) = \frac{|u \cdot v|}{|u| \cdot |v|}$

Volné rovnoběžné promítání

• Způsob promítnutí prostoru do roviny - "průmětny"
• Útvary, ležící v rovině rovnoběžné s průmětnou, se zobrazují ve skutečné velikosti
• Úsečky, které jsou kolmé na průmětnu, se dvakrát zkrátí a promýtnou se pod úhlem $45^\circ$

Typy rovnoběžného promítání

• a) Pravý nadhled - Viditelná je horní, pravá a přední stěna
• b) Levý podhled - Viditelná je dolní, levá a přední stěna
• c) Pravý podhled - Viditelná je dolní, pravá a přední stěna
• d) Levý nadhled - Viditelná je horní, levá a přední stěna

Řez hranolu a jehlanu rovinou

• Lze spojovat pouze body ve stejné stěně útvaru
• Dále využívání rovnoběžnosti úseček, osy afinity, ...