Užití obloukové míry a souvislost s velikostí úhlu ve stupních.
Zavedení poměrů stran pravoúhlého trojúhelníku pomocí goniometrických funkcí. Rozšířit goniometrické funkce na množinu reálných čísel.
Zakreslit grafy a popsat vlastnosti goniometrických funkcí. Využít vztahy pro úpravu goniometrických výrazů pro řešení rovnic a nerovnic.
- Jednotková kružnice - Kružnice s poloměrem
$1$ - Oblouk mezi body
$A$ a$B$ má délku$1$ $\iff$ úhel$\alpha$ má velikost$1 \ \text{rad}$ (radián) -
$180^\circ = \pi \ \text{rad}$ $\iff$ $1^\circ = \frac{\pi}{180^\circ} \ \text{rad}$ -
$\text{deg} = \text{rad} \ \frac{180^\circ}{\pi}$ -
$\text{deg}$ - Číselná hodnota v stupních -
$\text{rad}$ - Číselná hodnota v radiánech
-
- Funkce
$\sin$ $\cos$ $\tan$ $\cot$ - Periodické, nejsou prosté
- Cyklometrické (inverzní) funkce
-
$\arcsin$ $\arccos$ $\arctan$ $\text{arccot}$ - Goniometrické funkce nejsou prosté
$\implies$ definovány pouze na části definičního oboru
-
$\sin(\beta)= \frac{\text{Protilehlá odvěsna}}{\text{Přepona}}$ $\cos(\beta)= \frac{\text{Přilehlá odvěsna}}{\text{Přepona}}$ $\tan(\beta)= \frac{\text{Protilehlá odvěsna}}{\text{Přilehlá odvěsna}}$ $\cot(\beta)= \frac{\text{Přilehlá odvěsna}}{\text{Protilehlá odvěsna}}$
- Definuje i pro komplexní čísla
$\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
$D(f) = R$ $H(f) = \langle -1,1 \rangle$ - Lichá a omezená funkce
- Periodicita
$2 \pi$ $\sin(x) = \cos(x - \frac{\pi}{2})$ $\sin'(x) = \cos(x)$
$D(f) = R$ $H(f) = \langle -1,1 \rangle$ - Sudá a omezená funkce
- Periodicita
$2 \pi$ $\cos(x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ $\cos'(x) = -\sin(x)$
$D(f) = R \setminus {\frac{\pi}{2} + k\pi; \ k \in Z}$ $H(f) = R$ - Lichá funkce
- Nemá maximum, minimum, neomezená
- Periodicita
$\pi$ $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ $\tan'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$
$D(f) = R \setminus {k\pi; \ k \in Z}$ $H(f) = R$ - Lichá funkce
- Nemá maximum, minimum, neomezená
- Periodicita
$\pi$ $\cot(x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ $\cot(x)=\tan(-x+\frac{\pi}{2})$ $\cot'(x)=-\frac{1}{sin^2(x)}$
$\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1 \implies \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \implies \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ $\tan(x) \cot(x) = 1$ $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ $\cos(2x) = \cos^2(x)-\sin^2(x)$ $\sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}$ $\cos(\frac{x}{2}) = \sqrt{\frac{1+\cos(x)}{2}}$ $\sin^2(x) = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))$ $\cos^2(x) = \frac{1}{2}(1 + \cos(2x))$ $\sin(x+y) = \sin(x)\cos(y)+\cos(x) \sin(y)$ $\cos(x+y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$